Maksvellov zakon. Maksvellova raspodjela brzina

Proučavanje svojstava plinskog agregatnog stanja materije jedno je od važnih područja moderne fizike. Gledajući plinove na mikroskopskoj skali, mogu se dobiti svi makroskopski parametri sustava. Ovaj će rad otkriti važno pitanje molekularno-kinetičke teorije plinova: koja je maksvellova raspodjela molekula po brzinama.

Povijesna skica

Ideja o plinu kao sustavu koji se sastoji od mikroskopskih pokretnih čestica potječe iz antičke Grčke. Znanosti je trebalo više od 1700 godina da se razvije.

Utemeljiteljem moderne molekularne kinetičke teorije (MKT) plina pošteno je smatrati Daniela Bernoullija. 1738. objavio je djelo pod nazivom "Dinamika fluida". U njemu je Bernoulli iznio ideje MKT-a korištene do danas. Dakle, znanstvenik je vjerovao da se plinovi sastoje od čestica koje se kaotično kreću u svim smjerovima. Brojni sudari čestica sa stijenkama posuda percipiraju se kao prisutnost tlaka u plinovima. Brzine čestica usko su povezane s temperaturom sustava. Zajednica znanstvenika nije prihvatila Bernoullijeve hrabre ideje jer Zakon o očuvanju energije još nije uspostavljen.

Nakon toga, mnogi su se znanstvenici bavili izgradnjom kinetičkog modela plinova. Među njima valja istaknuti Rudolfa Clausiusa, koji je 1857. stvorio jednostavan plinski model. U njemu je znanstvenik posebnu pozornost posvetio prisutnosti translacijskih, rotacijskih i vibracijskih stupnjeva slobode u molekulama.

1859. godine, proučavajući Clausiusovo djelo, James Maksvell formulirao je takozvanu maksvellovu raspodjelu molekularnih brzina. U osnovi, Maksvell je potvrdio ideje MKT-a, podupirući ih matematičkim aparatom. Nakon toga, Ludvig Boltzmann (1871.) sažeo je zaključke maksvellove raspodjele. Postulirao je općenitiju statističku raspodjelu molekula po brzinama i energijama. Trenutno je poznata kao maksvell - Boltzmannova Distribucija.

Idealan plin. Glavni postulati MKT-a

Da bismo razumjeli što je maksvellova distribucijska funkcija, potrebno je jasno razumjeti sustave za koje je ova funkcija primjenjiva. Radi se o idealnom plinu. U fizici se ovaj koncept podrazumijeva kao tekuća tvar koja se sastoji od gotovo bezdimenzionalnih čestica koje nemaju potencijalnu energiju. Te se čestice kreću velikim brzinama, pa je njihovo ponašanje u potpunosti određeno kinetičkom energijom. Štoviše, udaljenosti između čestica su prevelike u odnosu na njihove veličine, pa se potonje zanemaruju.

Idealni plinovi opisani su u okviru MKT-a. Njegovi glavni postulati su sljedeći:

• plinski sustavi sastoje se od ogromnog broja slobodnih čestica;
• čestice se kaotično kreću različitim brzinama u različitim smjerovima duž ravnih putanja;
• čestice se elastično sudaraju sa stijenkama posuda (vjerojatnost međusobnog sudara čestica je mala, zbog njihove male veličine);
• temperatura sustava jedinstveno je određena prosječnom kinetičkom energijom čestica, koja se čuva tijekom vremena u slučaju uspostavljanja termodinamičke ravnoteže u sustavu.

Maksvellov zakon raspodjele

Kad bi osoba posjedovala uređaj pomoću kojeg bi se mogla izmjeriti brzina pojedine molekule plina, tada bi se, provodeći odgovarajući eksperiment, iznenadio. Eksperiment bi pokazao da se svaka molekula bilo kojeg plinskog sustava kreće potpuno proizvoljnom brzinom. Štoviše, u okviru jednog sustava koji je u toplinskoj ravnoteži s okoliš, pronađene bi i vrlo spore i vrlo brze molekule.

Maksvellov Zakon o raspodjeli brzina molekula plina je alat za određivanje vjerojatnosti otkrivanja čestica s određenom brzinom od oceana u sustavu koji se proučava. Odgovarajuća funkcija je sljedeća:

f(v) = (m/(2*pi*k*T))^3/2*4*pi*v²*exp(-m*v²/(2*k*T)).

U ovom izrazu, Aas je masa čestice (molekule), Aas je Boltzmannova konstanta, Aas - apsolutna temperatura. Dakle, ako je poznata kemijska priroda čestica (vrijednost IPA), tada je funkcija IPA (IPA) jedinstveno određena apsolutnom temperaturom. Funkcija IPA (IPA) naziva se gustoća vjerojatnosti. Ako iz nje uzmemo integral za određeno ograničenje brzine (asa; asa+asa), tada dobivamo broj čestica asa_i, koji imaju brzine u navedenom intervalu. U skladu s tim, ako uzmemo integral gustoće vjerojatnosti Ama(ama) za ograničenja brzine od 0 do ama, tada dobivamo puni broj molekula ama u sustavu.

Grafički prikaz gustoće vjerojatnosti Ace (Ace)

Funkcija gustoće vjerojatnosti ima pomalo složen matematički oblik, pa nije lako zamisliti njezino ponašanje na određenoj temperaturi. Ovaj se problem može riješiti prikazivanjem na dvodimenzionalnom grafikonu. Shematski prikaz Maksvellovog grafa raspodjele prikazan je dolje na slici.

Vidimo da počinje od nule, budući da brzina molekula u svemiru ne može imati negativne vrijednosti. Graf završava negdje u području velikih brzina, glatko se spuštajući na nulu (Ace (Ace)->0). Upečatljiva je i sljedeća značajka: glatka krivulja je asimetrična, oštrije se smanjuje za male vrijednosti brzine.

Važna značajka ponašanja funkcije gustoće vjerojatnosti IPA (ipa) je prisutnost jednog izraženog maksimuma na njoj. Prema fizičkom smislu funkcije, ovaj maksimum odgovara najvjerojatnijoj vrijednosti brzina molekula u plinskom sustavu.

Važne vrste brzine za funkciju IPA (IPA)

Funkcija gustoće vjerojatnosti IPA (IPA) i njezin grafički prikaz omogućuju vam definiranje tri važne vrste brzine.

Prva vrsta brzine koja je očigledna, a koja je gore spomenuta, je najvjerojatnija brzina u vezi s oceanom₁. Na grafikonu njegova vrijednost odgovara maksimumu funkcije IPA (IPA). Upravo će ta brzina i vrijednosti blizu nje imati većinu čestica sustava. Nije ga teško izračunati, za to je dovoljno uzeti prvi derivat brzine iz funkcije Arens(Arens) i izjednačiti ga s nulom. Kao rezultat ovih matematičkih operacija dobivamo konačni rezultat:

v₁ = √(2*R*T/M).

Ovdje je AIP-univerzalna plinska konstanta, AP-molarna masa molekula.

Druga vrsta brzine je njezina Prosječna vrijednost za sve čestice. Označimo je s njezinim oceanom₂. Možete ga izračunati ako integrirate funkciju Ina*Ina (Ina) u svim brzinama. Rezultat označene integracije bit će sljedeća formula:

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)).

Budući da je omjer 8 / zodijak>2, tada je prosječna brzina uvijek nešto veća od najvjerojatnije.

Svaka osoba koja je malo upoznata s fizikom razumije da je prosječna brzina₂ molekula mora biti od velike važnosti u plinskom sustavu. Ipak, to je pogrešna prosudba. Mnogo važnija je prosječna kvadratna brzina. Označimo je s njezinim oceanom₃.

Prema definiciji, Prosječna kvadratna brzina je zbroj kvadrata pojedinačnih brzina sve čestice, podijeljeno s brojem tih čestica i uzeto pod kvadratnim korijenom. Moguće ga je izračunati za maksvellovu raspodjelu ako odredite integral za sve brzine funkcije iphine²*f(v). Formula za prosječnu kvadratnu brzinu poprimit će oblik:

v₃ = √(3*R*T/M).

Jednakost pokazuje da je ta brzina veća od vrijednosti u vezi s oceanom₂ i v₁ za bilo koji plinski sustav.

Dakle, sve razmatrane vrste brzina na Maksvellovom grafikonu raspodjele leže ili na ekstremu ili desno od njega.

Važnost magnitude iphine3

Gore je primijećeno da je prosječna kvadratna brzina važnija za razumijevanje fizikalnih procesa i svojstava plinskog sustava od jednostavne prosječne brzine od oceana₂. To je doista slučaj, jer kinetička energija idealnog plina ovisi upravo o veličini oceana₃, a ne od interneta₂.

Ako uzmemo u obzir monatomski idealni plin, tada za njega vrijedi sljedeći izraz:

m*v₃²/2 = 3/2*k*T.

Ovdje je svaki dio jednakosti kinetička energija jedne čestice masom aposs. Zašto je u izrazu točno vrijednost oceana₃, a ne prosječna brzina oceana₂? Vrlo jednostavno: pri određivanju kinetičke energije svake čestice, njezina pojedinačna brzina od AMAP-a se kvadratira, a zatim se sve brzine zbrajaju i dijele s brojem čestica AMAP-a. Odnosno, sam postupak određivanja kinetičke energije dovodi do vrijednosti prosječne kvadratne brzine.

Ovisnost funkcije IPA (IPA) o temperaturi

Iznad smo utvrdili da gustoća vjerojatnosti brzina molekula jedinstveno ovisi o temperaturi. Kako će se funkcija promijeniti ako povećavate ili smanjujete veličinu oceana? Grafikon u nastavku pomoći će odgovoriti na ovo pitanje.

Može se vidjeti da zagrijavanje zatvorenog sustava dovodi do razmazivanja vrha i njegovog pomaka prema većim brzinama. Povećanje temperature dovodi do povećanja svih vrsta brzina i do smanjenja gustoće vjerojatnosti svake od njih. Vrijednost vrha smanjuje se zbog očuvanja broja čestica u zatvorenom sustavu.

Zatim ćemo riješiti nekoliko problema kako bismo učvrstili dobiveni teorijski materijal.

Problem s molekulama dušika u zraku

Potrebno je izračunati brzine oceana₁, v₂ i v₃ za dušik zraka na temperaturi od 300 K (oko 27 ^oC).

Molarna masa dušika₂ jednako 28 g / mol. Pomoću danih formula dobivamo:

v₁ = √(2*R*T/M) = √(2*8,314*300/0,028) = 422 m / s;

v₂ = √(8*R*T/(pi*M)) = √(8*8,314*300/(3,14*0,028)) = 476 m / s;

v₃ = √(3*R*T/M) = √(3*8,314*300/0,028) = 517 m / s.

Problem s kisikom u cilindru

Kisik u cilindru bio je na nekoj temperaturi od oceana₁. Zatim je balon stavljen u hladniju prostoriju. Kako će se Maksvellov graf raspodjele brzine promijeniti za molekule kisika kada sustav dođe u termodinamičku ravnotežu?

Prisjećajući se teorije, na pitanje problema možemo odgovoriti na sljedeći način: vrijednosti svih vrsta molekularnih brzina smanjit će se, vrh funkcije Ina(Ina) pomaknut će se ulijevo, postati uži i veći.