Udaljenost između paralelnih linija. Udaljenost između paralelnih ravnina

Ravna crta i ravnina dva su najvažnija geometrijska elementa pomoću kojih se mogu konstruirati različite figure u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom prostoru. Razmotrimo kako pronaći udaljenost između paralelnih linija i paralelnih ravnina.

Matematički zadatak izravno

Iz školskog tečaja geometrije poznato je da se u dvodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu linija može postaviti u sljedećem obliku:

y = k*x + b.

Gdje su II i II brojevi (parametri). Snimljeni oblik predstavljanja pravca na ravnini je ravnina koja je paralelna s osi interneta u trodimenzionalnom prostoru. S obzirom na to, u ovom ćemo članku koristiti prikladniji i univerzalniji oblik za matematički zadatak izravne linije-vektor.

Pretpostavimo da je naša izravna paralela neke вектору u(a, b, c) i prolazi kroz točku P(x_0, y₀, z₀). U ovom će slučaju u vektorskom obliku njegova jednadžba biti predstavljena na sljedeći način:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Ovdje je nasa bilo koji broj. Ako eksplicitno predstavimo koordinate otkrivanjem napisanog izraza, tada dobivamo parametarski oblik zapisa ravne crte.

Prikladno je raditi s vektorskom jednadžbom pri rješavanju različitih problema u kojima je potrebno odrediti udaljenost između ravnih paralelnih linija.

Ravne crte i udaljenost između njih

Ima smisla govoriti o udaljenosti između linija samo kada su paralelne (u trodimenzionalnom slučaju postoji i udaljenost koja nije nula između linija koje se križaju). Ako se linije sijeku, onda je očito da su na nultoj udaljenosti jedna od druge.

Udaljenost između paralelnih linija je duljina okomice koja ih povezuje. Da biste odredili ovaj pokazatelj, dovoljno je odabrati proizvoljnu točku na jednoj od linija i s nje spustiti okomicu na drugu.

Ukratko opisujemo postupak pronalaska željene udaljenosti. Pretpostavimo, što nam poznate su vektorske jednadžbe dviju linija, koje su predstavljene u sljedećem općem obliku:

(x_, y, z) = P + λ*u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Izgradimo paralelogram na tim ravnim crtama tako da jedna od strana bude ocean, a druga, na primjer, ocean. Očito je da je visina dane figure, povučena iz točke Nazionale, duljina tražene okomice. Da biste ga pronašli, možete primijeniti sljedeću jednostavnu formulu:

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Budući da se udaljenost između paralelnih linija naziva duljina okomitog segmenta između njih, prema zabilježenom izrazu dovoljno je pronaći modul vektorskog proizvoda ASA i ASA i podijeliti dobiveni rezultat s duljinom vektora asa.

Primjer problema određivanja između ravnih linija udaljenosti

Dane su dvije ravne crte sljedećim vektorskim jednadžbama:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ*(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β*(2, -1, -3).

Iz snimljenih izraza može se vidjeti da imamo dvije paralelne crte. Doista, ako pomnožite s -1 koordinate vektora smjera prve crte, dobit ćete koordinate vektora smjera druge crte, što ukazuje na njihovu paralelnost.

Udaljenost između paralelnih linija izračunava se pomoću formule zabilježene u prethodnom stavku članka. Imamo:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2);

u¯ = (-2, 1, 3).

Tada dobivamo:

/ Astrologija / = 14 cm;

(90/14) = 2,535 cm.

Imajte na umu da je umjesto točaka unaz i unaz za rješavanje problema bilo moguće koristiti apsolutno bilo koje točke koje pripadaju tim izravnim linijama. Na taj način dobili bismo istu udaljenost od NASA-e.

Postavljanje ravnine u geometriji

Gore je detaljno razmotreno pitanje udaljenosti između ravnih linija. Sada ćemo pokazati kako pronaći udaljenost između paralelnih ravnina.

Svaka predstavlja što je ravnina. Prema matematičkoj definiciji, navedeni geometrijski element je skup točaka. Štoviše, ako napravite sve vrste vektora pomoću ovih točaka, tada će svi oni biti okomiti na jedan vektor. Potonji se obično naziva normalom na ravninu.

Za postavljanje jednadžbe ravnine u trodimenzionalnom prostoru najčešće se koristi opći oblik jednadžbe. Ima ovaj izgled:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Gdje su velika latinična slova neki brojevi. Prikladno je koristiti ovu vrstu jednadžbe ravnine jer jasno daje koordinate normalnog vektora. Oni su A, B, C.

Nije teško shvatiti da su dvije ravnine paralelne samo kada su njihove normale paralelne.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne ravnine ?

Da biste odredili navedenu udaljenost, trebali biste jasno razumjeti o čemu se radi. Udaljenost između ravnina koje su međusobno paralelne podrazumijeva duljinu segmenta okomitog na njih. Krajevi ovog segmenta pripadaju ravninama.

Algoritam za rješavanje takvih problema je jednostavan. Da biste to učinili, morate pronaći koordinate apsolutno bilo koje točke koja pripada jednoj od dvije ravnine. Zatim biste trebali koristiti sljedeću formulu:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Budući da je udaljenost pozitivna vrijednost, u brojniku se nalazi znak modula. Napisana formula je univerzalna jer vam omogućuje izračunavanje udaljenosti od ravnine do apsolutno bilo kojeg geometrijskog elementa. Dovoljno je samo znati koordinate jedne točke ovog elementa.

Radi cjelovitosti, napominjemo da ako normale dviju ravnina nisu paralelne jedna s drugom, tada će se takve ravnine presijecati. Udaljenost između njih tada će biti nula.

Zadatak određivanja udaljenosti između ravnina

Poznato je da su dvije ravnine date sljedećim izrazima:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z – 2 = 0.

Potrebno je dokazati da su ravnine paralelne, kao i odrediti udaljenost između njih.

Da biste odgovorili na prvi dio problema, prva jednadžba mora dovesti do općeg oblika. Imajte na umu da je dana u takozvanom obliku jednadžbe u segmentima. Pomnožite njegovu lijevu i desnu stranu s 15 i prenesite sve pojmove u jedna strana jednakosti, dobivamo:

-5*x + 3*y + 15*z – 15 = 0.

Zapisujemo koordinate dva normalna vektora ravnine:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Vidi se da ako je₂ pomnoženo s 5, tada ćemo definitivno dobiti koordinate za ocean₁¯. Dakle, dotične ravnine su paralelne.

Da bismo izračunali udaljenost između paralelnih ravnina, odaberite proizvoljnu točku prve od njih i upotrijebite prethodno datu formulu. Na primjer, uzmite točku (0, 0, 1) koja pripada prvoj ravnini. Tada dobivamo:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 vidi.

Željena udaljenost je 31 mm.

Udaljenost između ravnine i ravne crte

Pružena teorijska znanja također omogućuju rješavanje problema određivanja udaljenosti između ravne crte i ravnine. Gore je već spomenuto da je formula koja vrijedi za izračune između ravnina univerzalna. Također se može koristiti za rješavanje zadatka. Da biste to učinili, samo odaberite bilo koju točku koja pripada određenoj liniji.

Glavni problem u određivanju udaljenosti između geometrijskih elemenata koji se razmatraju je dokaz njihove paralelnosti (ako to nije slučaj, onda je AIP=0). Paralelizam je lako dokazati izračunavanjem točkastog proizvoda normale i vektora smjera za liniju. Ako su dotični elementi paralelni, tada će taj proizvod biti nula.