Izračunavanje kuta između crte i ravnine. Koordinatna metoda rješavanja problema

Jedan od najčešćih u stereometriji su problemi sjecišta ravnih linija i ravnina i izračunavanja kutova između njih. Razmotrimo u ovom članku detaljnije takozvanu koordinatnu metodu i kutove između crte i ravnine.

Ravna crta i ravnina u geometriji

Prije razmatranja koordinatne metode i kuta između crte i ravnine, trebali biste se upoznati s imenovanim geometrijskim objektima.

Ravna crta naziva se takvim skupom točaka u prostoru ili na ravnini, od kojih se svaka može dobiti linearnim prijenosom prethodne na određeni vektor. Dalje, označit ćemo ovaj vektor simbolom oceana. Ako se ovaj vektor pomnoži s bilo kojim brojem koji nije nula, tada ćemo dobiti paralelni vektor. Ravna crta je linearni beskonačni objekt.

Ravnina je također skup točaka koje su raspoređene na takav način da će, ako se od njih naprave proizvoljni vektori, sve biti okomite na neki vektor u odnosu na. Potonji se naziva normalno ili samo normalno. Ravnina je, za razliku od ravne crte, dvodimenzionalni beskonačni objekt.

Koordinatna metoda rješavanja problema iz geometrije

Na temelju naziva same metode možemo zaključiti da govorimo o način rješavanja zadataka, koji se temelji na izvođenju analitičkih sekvencijalnih izračuna. Drugim riječima, koordinatna metoda omogućuje rješavanje geometrijskih problema pomoću univerzalnih alata algebre, od kojih su glavni jednadžbe.

Treba napomenuti da se dotična metoda pojavila u zoru nastanka moderne geometrije i algebre. Veliki doprinos njegovom razvoju dali su Rene Descartes, Pierre Fermat, isaac Njutn i Leibniz u IAC-IAC stoljeća.

Bit metode je izračunavanje udaljenosti, kutova, površina i volumena geometrijskih elemenata, na temelju koordinata poznatih točaka. Imajte na umu da oblik dobivenih konačnih jednadžbi ovisi o koordinatnom sustavu. Najčešće se u zadacima koristi pravokutni kartezijanski sustav, jer je s njim najprikladnije raditi.

Jednadžba pravca

Razmatranje koordinatne metode i kutova između pravca i ravnine započinjemo postavljanjem jednadžbe pravca. Postoji nekoliko načina prikazi u algebarskom obliku ravnih linija. Ovdje ćemo razmotriti samo vektorsku jednadžbu, jer se iz nje lako može dobiti bilo koji drugi oblik i s njom je lako raditi.

Pretpostavimo da postoje dvije točke: Ace i Ace. Poznato je da se kroz njih može povući ravna crta, a ona će biti jedina. Odgovarajući matematički prikaz elementa izgleda ovako:

(x, y, z) = P + λ*PQ¯.

Gdje je internet vektor čije se koordinate dobivaju na sljedeći način:

PQ¯ = Q - P.

Simbol zodijaka označava parametar koji može uzeti apsolutno bilo koji broj.

U snimljenom izrazu možete promijeniti smjer vektora, a umjesto točke, zamijenite koordinate s oceanom. Sve ove transformacije neće dovesti do promjene geometrijskog rasporeda ravne crte.

Imajte na umu da je prilikom rješavanja problema ponekad potrebno predstaviti napisanu vektorsku jednadžbu u eksplicitnom (parametarskom) obliku.

Postavljanje ravnine u prostoru

Kao i za ravnu crtu, postoji i nekoliko oblika matematičkih jednadžbi za ravninu. Među njima primjećujemo vektor, jednadžbu u segmentima i opći oblik. U ovom ćemo članku obratiti posebnu pozornost na posljednji oblik.

Jednadžba općeg oblika za proizvoljnu ravninu može se napisati na ovaj način:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Latinična velika slova su određeni brojevi koji određuju ravninu.

Pogodnost ovog oblika pisanja leži u činjenici da eksplicitno sadrži vektor normalan na ravninu. Jednak je:

n¯ = (A, B, C).

Poznavanje ovog vektora omogućuje, površno gledajući jednadžbu ravnine, zamisliti mjesto potonjeg u koordinatnom sustavu.

Relativni položaj u prostoru ravne crte i ravnine

U sljedećem odlomku članka prijeći ćemo na razmatranje koordinatne metode i kuta između crte i ravnine. Ovdje ćemo odgovoriti na pitanje kako se razmatrani geometrijski elementi mogu nalaziti u prostoru. Postoje tri takva načina:

1. Ravna crta presijeca ravninu. Korištenjem koordinatne metode može se izračunati u kojoj se jedinoj točki presijecaju linija i ravnina.
2. Ravnina pravca je paralelna. U ovom slučaju sustav jednadžbi geometrijskih elemenata nema rješenje. Da bi se dokazala paralelnost, obično se koristi svojstvo točkastog proizvoda vektora smjera pravca i normalne ravnine.
3. Ravnina sadrži ravnu crtu. Rješavajući sustav jednadžbe u ovom slučaju, doći ćemo do zaključka da se za bilo koju vrijednost parametra tvina dobiva ispravna jednakost.

U drugom i trećem slučaju kut između navedenih geometrijskih objekata je nula. U prvom slučaju leži u rasponu od 0 do 90^o.

Izračunavanje kutova između ravnih linija i ravnina

Sada idemo izravno na temu članka. Svako sjecište ravne crte i ravnine događa se pod nekim kutom. Ovaj kut nastaje najravnijom i njegovom projekcijom na ravninu. Projekcija se može dobiti ako se okomica spusti s bilo koje točke crte na ravninu, a zatim se kroz rezultirajuću točku sjecišta ravnine i okomice i točku sjecišta ravnine i izvorne crte povuče ravna crta koja će biti projekcija.

Izračunavanje kutova između ravnih linija i ravnina nije težak zadatak. Da biste ga riješili, dovoljno je znati jednadžbe odgovarajućih geometrijskih objekata. Recimo da su ove jednadžbe sljedeće:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Željeni kut je lako pronaći ako koristite svojstvo umnoška skalarnih vektora unaz i unaz. Konačna formula izgleda ovako:

θ = arcsin(|(u¯*n¯)|/(|u¯|*|n¯|)).

Ova formula kaže da je sinus kuta između crte i ravnine jednak omjeru modula točkastog proizvoda označenih vektora i umnoška njihovih duljina. Da bismo razumjeli zašto se sinus pojavio umjesto kosinusa, okrenimo se donjoj slici.

Može se vidjeti da ako primijenimo kosinusnu funkciju, tada dobivamo kut između vektora odn in. Željeni kut Ama (ama na slici) ispada ovako:

θ = 90^o - β.

Sinus se pojavljuje kao rezultat primjene redukcijskih formula.

Primjer zadatka

Prijeđimo na praktičnu upotrebu stečenog znanja. Riješimo tipičan problem na kut između ravna crta i ravnina. Date su sljedeće koordinate četiri točke:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Poznato je da ravnina prolazi kroz točke AIP - a, a ravna linija kroz AIP-ove. Pomoću koordinatne metode mora se izračunati kut između ravnine i ravne crte.

Za početak napišemo jednadžbe pravca i ravnine. Za izravnu je lako sastaviti:

MN¯ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).

Da bismo sastavili jednadžbu ravnine, prvo pronađemo normalu na nju. Njegove koordinate jednake su vektorskom proizvodu dvaju vektora koji leže u određenoj ravnini. Imamo:

PQ¯ = (-2, 3, 2);

QM¯ = (1, 1, -3) =>

n¯ = [PQ¯*QM¯] = (-11, -4, -5).

Sada u jednadžbu opće ravnine zamjenjujemo koordinate bilo koje točke koja leži u njoj kako bismo dobili vrijednost slobodnog pojma, a ne:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Jednadžba ravnine je:

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Ostaje primijeniti formulu za kut koji nastaje kada se linija i ravnina sijeku kako bi se dobio odgovor na problem. Imamo:

(u¯*n¯) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u¯| = √24; |n¯| = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Koristeći ovaj problem kao primjer, pokazali smo kako koristiti koordinatnu metodu za rješavanje geometrijskih problema.