Opća jednadžba pravca u ravnini, u prostoru

U geometriji, nakon točke, ravna crta je možda najjednostavniji element. Koristi se u konstrukciji bilo kojih složenih figura u ravnini i u trodimenzionalnom prostoru. U ovom ćemo članku razmotriti opću jednadžbu ravne crte i riješiti nekoliko problema pomoću nje. Počnimo!

Ravna crta u geometriji

Svatko zna da su figure poput pravokutnika, trokuta, prizme, kocke i tako dalje oblikovane ravnim linijama koje se sijeku. Pod pravcem se u geometriji smatra a jednodimenzionalni objekt, koji se može dobiti prijenosom određene točke na vektor koji ima isti ili suprotan smjer. Da bismo bolje razumjeli ovu definiciju, zamislimo da postoji neka točka u svemiru. Uzmimo proizvoljni vektor u ovom prostoru. Tada se bilo koja točka u A-line može dobiti iz sljedećih matematičkih operacija:

Q = P + λ*u¯.

Ovdje je internet proizvoljan broj koji može biti pozitivno i negativno. Ako se gornja jednakost napiše koordinatama, tada dobivamo sljedeću jednadžbu pravca:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Ta se jednakost naziva jednadžba pravca u vektorskom obliku. A vektor od.

Opća jednadžba pravca u ravnini

Svaki će ga učenik moći zapisati bez ikakvih poteškoća. Ali najčešće se jednadžba piše ovako:

y = k*x + b.

Gdje su Is I is proizvoljni brojevi. Broj se naziva slobodnim članom. Parametar aut jednak je tangenti kuta nastalog sjecištem ravne crte s osi apscise.

Dana jednadžba izražena je u odnosu na varijablu iphine. Ako je predstavljen u općenitijem obliku, tada dobivamo sljedeći oblik zapisa:

A*x + B*y + C = 0.

Nije teško pokazati da se ovaj oblik pisanja opće jednadžbe pravca u ravnini lako pretvara u prethodni oblik. Da biste to učinili, lijevu i desnu stranu treba podijeliti s koeficijentom ama i izraziti ama.

Gornja slika prikazuje liniju koja prolazi kroz dvije točke.

Ravno u trodimenzionalnom prostoru

Nastavimo naše istraživanje. Ispitali smo pitanje kako se jednadžba pravca postavlja u ravnini u općem obliku. Ako za prostorni slučaj primijenimo obrazac za zapis naveden u prethodnom stavku članka, Što ćemo dobiti? Jednostavno je - više nije ravna, već ravna. Doista, sljedeći izraz opisuje ravninu koja je paralelna s osi nazionana:

A*x + B*y + C = 0.

Ako je AIP=0, tada takva ravnina prolazi kroz os aippo. Ovo je važno značajka.

Kako onda biti s općom jednadžbom ravne crte u prostoru? Da biste razumjeli kako to pitati, morate se nečega sjetiti. Dvije ravnine sijeku se u određenoj ravnoj liniji. Što to znači? Samo to, što je zajedničko jednadžba je rezultat rješavanja sustava dviju jednadžbi za ravnine. Zapišimo ovaj sustav:

• A₁*x + B₁*y + C₁*z + D₁= 0;
• A₂*x + B₂*y + C₂*z + D₂= 0.

Ovaj sustav je opća jednadžba pravca u prostoru. Imajte na umu da ravnine ne bi trebale biti paralelne jedna s drugom, odnosno da bi njihovi normalni vektori trebali biti nagnuti pod nekim kutom u odnosu jedan na drugi. Inače, sustav neće imati rješenja.

Iznad smo dali vektorski oblik pisanja jednadžbe za ravnu liniju. Prikladno ga je koristiti pri rješavanju ovog sustava. Da biste to učinili, prvo morate pronaći vektorski proizvod normala ovih ravnina. Rezultat ove operacije bit će vektor smjera pravca. Zatim biste trebali izračunati bilo koju točku koja pripada liniji. Da biste to učinili, trebate staviti bilo koju od varijabli jednaku određenoj vrijednosti, dvije preostale varijable naći će se rješavanjem smanjenog sustava.

Kako prevesti vektorsku jednadžbu u opću? Nijanse

Ovo je stvarni problem koji se može pojaviti ako treba napisati opću jednadžbu pravca iz poznatih koordinata dviju točaka. Pokažimo kako se ovaj problem rješava na primjeru. Neka su poznate koordinate dviju točaka:

• P = (x₁, y₁);
• Q = (x₂, y₂).

Jednadžba u vektorskom obliku prilično je jednostavna za sastavljanje. Koordinate vektora smjera su:

PQ = (x₂-x₁, y₂-y₁).

Imajte na umu da nema razlike, ako oduzmete koordinate od koordinata točke, vektor će samo promijeniti svoj smjer u suprotni. Sada biste trebali uzeti bilo koju točku i napisati vektorsku jednadžbu:

(x, y ) = (x₁, y₁) + λ*(x₂-x₁, y₂-y₁).

Da bi se napisala opća jednadžba pravca, u oba slučaja treba izraziti parametar ACE. A zatim izjednačite dobivene rezultate. Imamo:

x = x₁+ λ*(x₂-x₁) => λ = (x-x₁)/(x₂-x₁);

y = y₁+ λ*(y₂-y₁) => λ = (y-y₁)/(y₂-y₁) =>

(x-x₁)/(x₂-x₁) = (y-y₁)/(y₂-y₁).

Ostaje samo otvoriti zagrade i prenijeti sve pojmove jednadžbe u jedna strana jednakosti, da biste dobili generički izraz za liniju koja prolazi kroz dvije poznate točke.

U slučaju trodimenzionalnog problema, algoritam rješenja je sačuvan, samo će njegov rezultat biti sustav dviju jednadžbi za ravnine.

Zadatak

Potrebno je sastaviti opću jednadžbu pravca koji presijeca OS na (-3, 0) i koji je paralelan s osi na (-3, 0.

Rješenje problema započinjemo pisanjem jednadžbe u vektorskom obliku. Budući da je ravna crta paralelna s ordinatnom osi, tada će vektor koji vodi za nju biti sljedeći:

u¯ = (0, 1).

Tada će željena linija biti napisana sljedećom jednadžbom:

(x, y) = (-3, 0) + λ*(0, 1).

Sada prevedimo ovaj izraz u opći oblik, za to izražavamo parametar odnesi:

• x = -3;
• y = λ.

Dakle, bilo koja vrijednost varijable AP pripada ravnoj liniji, međutim, odgovara joj samo jedna vrijednost varijable AP. Stoga će opća jednadžba poprimiti oblik:

x + 3 = 0.

Problem s ravnom linijom u prostoru

Poznato je da su dvije ravnine koje se sijeku date sljedećim jednadžbama:

• 2*x + y - z = 0;
• x - 2*y + 3 = 0.

Potrebno je pronaći vektorsku jednadžbu pravca duž kojeg se te ravnine sijeku. Počnimo.

Kao što je spomenuto, opća jednadžba ravne crte u trodimenzionalnom prostoru već je dana u obliku sustava od dvije s tri nepoznanice. Prije svega, definiramo vektor smjera duž kojeg se ravnine sijeku. Množenjem vektorskih koordinata normala na ravnine dobivamo:

u¯ = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Budući da množenjem vektora s negativnim brojem mijenja njegov smjer u suprotan, tada se može zapisati:

u¯ = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Da biste pronašli vektorski izraz za liniju, pored vektora smjera, trebali biste znati i neku točku ove crte. Pronaći budući da njegove koordinate moraju zadovoljiti sustav jednadžbi u stanju problema, tada ih nalazimo. Stavimo, na primjer, Internet = 0, a zatim dobivamo:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Dakle, točka koja pripada željenoj ravnoj liniji ima koordinate:

P = (0, 1,5, 1,5).

Tada dobivamo odgovor na ovaj problem, vektorska jednadžba željene crte bit će u obliku:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + λ*(2, 1, 5).

Ispravnost rješenja može se lako provjeriti. Da biste to učinili, morate odabrati proizvoljnu vrijednost parametra i zamijeniti rezultirajuće koordinate točke crte u obje jednadžbe za ravnine, dobit ćete identitet u oba slučaja.