Diferencijacija i integracija: definicija, pojam, oblici

Diferencijacija i integracija su jednadžba koja sadrži derivate. Potonji se, ako se pridržavamo matematičkih svojstava, dijele na obične i posebne. Derivati predstavljaju brzinu promjene, a diferencijalna jednadžba opisuje odnos između veličine koja se kontinuirano modificira tijekom procesa rješavanja, tvoreći nove varijable.

Sveučilišni profesor lako će se orijentirati u složenim operacijama s integralima, pretvoriti ih u jednu cjelinu, a zatim dokazati račun obrnutom metodom. Međutim, sposobnost brzog prisjećanja detalja složenih formula nije dostupna svakoj osobi, stoga se preporučuje osvježiti pamćenje ili otkriti novi materijal.

Značenje i glavna primjena

U znanstvenoj literaturi derivat je definiran kao brzina podvrgnuta transformaciji funkcije na temelju jedne od njezinih varijabli. Diferencijacija je entitet računa koji se može usporediti s početkom pretraživanja tangente na točku. Kao što znate, potonji ima različite vrste i zahtijeva računalne formule za pretraživanje. Pretpostavimo da trebate pronaći nagib tangente na graf u točki R. Kako to učiniti? Dovoljno je povući lučnu traku kroz određeni objekt i podići je prema gore dok ne dobijemo podijeljenu liniju.

Naziva se da je funkcija h u H = A diferencirana u točki h = a ako derivat h ` (a) postoji na svakoj oznaci njegove domene. Pokažimo primjer:

f `(a) = lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Da bi se jednadžba podvrgla diferencijaciji i integraciji funkcija tako da će njezino mjesto postati moguće u bilo kojem trenutku u oceanu, ne smije se prekidati. Izradom shematske slike unaprijed možete se uvjeriti u pouzdanost izjave. Upravo iz tog razloga, područje ` (a) je definirano postojanjem njegovih granica.

Pretpostavimo da je g = iphine (h) funkcija od h, tada je izvedenica od iphine (h) dana kao IP / iPhone. Također se definira kao linearna jednadžba, gdje je potrebno pronaći potrebne podatke za.

Međutim, ako tražimo izvedenicu od G u prvom slučaju, onda u sljedećem moramo pronaći Ace(Ace) od acepa.

d/dx × (f(x)) la ili df/dx la

Stoga je označavanje brzine promjene funkcije Ama (ama) u odnosu na AMA u točki ama koja leži na njegovoj površini.

Ako je poznat derivat od ` IP `koji je diferenciran u svojoj domeni, tada možemo pronaći njegovu vrijednost od `IP`. U integralnom računu zovemo `antiprodukcijski` ili ` primitiv funkcije `. Metoda njegovog izračuna poznata je kao antidiferencijacija ili integracija.

Vrste i oblici

Jednadžba s jednim ili više pojmova koja uključuje derivate ovisne varijable preko neovisne poznata je kao diferencijal. Drugim riječima, sastoji se od mnogih numeričkih vrijednosti, običnih ili količnika, podložnih promjenama u procesu rješavanja.

Trenutno postoje sljedeće vrste diferencijalnih jednadžbi.

Obični. Jednostavna jednakost koja izravno ovisi o varijabli:

dy/dx + 5x = 5y

S djelomičnim derivatima:

dy/dx + dy/dt = x3-t3

d2y/dx2 – c2 × d2y/dt2

Viši omjer. Ovu vrstu karakterizira sudjelovanje u redoslijedu diferencijalne jednadžbe, kao što je prikazano u donjem primjeru, gdje je 3. Broj se smatra najvišim od prisutnih:

d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y = √x

Funkcije mogu imati nekoliko vrsta, međutim, poželjna je upotreba jednog navodnika s karakterističnim formulama integracije i diferencijacije.

y’ = dy/dx

y’’ = d2y/dx2

y’’’ = d3y/dx3

Linearno. Varijabla koja se pojavljuje u jednadžbi podiže se na snagu jedinice. Graf ove vrste funkcija obično je ravna crta. Na primjer, (3 oceana + 5), ali (oceana³ + 4x²) ne odnosi se na ovu vrstu jer zahtijeva drugačije rješenje.

dy/dx + xy = 5x

Nelinearno. Svaka integracija i diferencijacija serija s dvostrukim metodama dobivanja jednakosti odnosi se na razmatrani oblik:

d2y/dx2- ln y = 10

Metode brzog dobivanja rezultata

Nije dovoljno uzeti u obzir obrazac da biste shvatili kako se nositi i primijeniti stečeno znanje u praksi. Trenutno postoji nekoliko načina rješavanja diferencijalne jednadžbe.

To je:

1. Podjela varijable. Izvršava kada primjer može se prikazati kao dy / dx = f(y) g(x). Posebnost je u tome što su IAS i IAS funkcije koje pripadaju njihovim vrijednostima. Zahvaljujući tome, zadatak treba transformirati: 1/ f(y) dy = g(x) dx. I tek nakon prelaska na sljedeću stavku.
2. Metoda integrirajućeg faktora. Koristi se kada je primjer ima pogled dy / dx + p(x) y = q(x), gdje su p i q su funkcije samo x.

Diferencijalni izračuni prvog reda izgledaju kao IP` + r (h) IP = IP (IP) jer sadrže potrebne funkcije i izvedenicu od IP. Naknadno povećanje naziva djeluje na istom principu. Na primjer, derivati nepoznate funkcije mogu biti i količnici i obični.

Neodređeni integrali

Ako ste dobili brzinu bicikla kada ste krenuli u vožnju, ovisno o vremenu-možete li izračunati prijeđenu udaljenost koristeći podatke o utrošenim minutama? Ovaj zadatak izgleda kao neodoljiv teret, ali integrali će vam pomoći da se što učinkovitije nosite s tim svojstvima, dobivajući rezultat.

Znanstvena literatura naglašava da su oni loša strana diferencijacije. Doista, integracija je metoda zbrajanja stvari. Povezuje čestice zajedno, stvarajući nešto novo-cjelinu. Glavna stvar u bilo kojem sličnom primjeru je pronaći neodređene integrale i provjeriti rezultate integracije diferencijacijom. To će vam pomoći izbjeći nepotrebne pogreške.

Ako ćete tražiti područje bilo koje slučajne krivulje, na primjer, AST=AST (AST), tada upotrijebite dotičnu metodu. Zapamtite da će vas samo pažljivost spasiti od pogreške.

Formule za rješavanje

Dakle, upoznavši se s osnovnim konceptom diferencijacije i integracije - inverznog računanja kroz funkcije, potrebno je ukratko razmotriti neke osnove. Navedeni su u nastavku.

Osnovna pravila računanja

Integrirane funkcije kao što su IPA (IPA) lako se prevode u jednakost ako jednadžbu predstavimo kao: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Ovdje se Ama (ama) naziva anti-produkcijom ili primitivnim. AMAP(AMAP) - integrand funkcija. internet – djeluje kao dodatni brojčani Agent. C-integrirana ili proizvoljna konstanta. internet-djeluje ovisno o strani jednakosti.

Iz gornje izjave možemo zaključiti da su integracija i diferencijacija serija dva procesa koja su međusobno suprotna. Zajedno djeluju kao jedna od vrsta operacija usmjerenih na dobivanje konačnog rezultata izvedenog na samoj jednadžbi.

Sada kada znamo više o značajkama računa, preporučuje se istaknuti preferencijalne razlike, potrebno za daljnje razumijevanje:

1. Diferencijacija i integracija mogu istovremeno zadovoljiti pravila linearnosti.
2. Operacije su usmjerene na pronalaženje najtočnijeg rješenja, međutim, pretpostavljaju ograničenja za njihovo definiranje.
3. U diferencijaciji polinomnog primjera rezultat je 1 manji od stupnja funkcije, dok se u slučaju integracije dobiveni rezultat pretvara u drugi, djelujući na suprotnoj shemi.
4. Dvije vrste rješenja, kao što je ranije spomenuto, međusobno su suprotne. Izračunavaju se formulama integracije i diferencijacije.
5. Izvod bilo koje funkcije je jedinstven, ali s druge strane, dva integrala, u jednom primjeru, mogu se razlikovati konstantom. Upravo to pravilo predstavlja glavnu poteškoću tijekom izvršavanja zadataka.
6. Kada se bavimo derivatima, možemo uzeti u obzir derivate u točki. Gotovo kao u integralima, oni pružaju funkcije duž intervala.
7. Geometrijski, derivat opisuje brzinu promjene veličine u odnosu na drugu, dok neodređeni integral predstavlja krivulju. Raspoređen je u paralelnom smjeru, a također ima tangente tijekom sjecišta neravnih linija s drugim, pravokutnim na os koja predstavlja varijablu.

Metode zbrajanja

Ako naiđete na problem kako se sumiranje primjenjuje za matematičke operacije diferencijacije integracije, trebali biste se pažljivo upoznati s osnovnim formulama. Oni su aksiom u učenju, stoga se koriste svugdje. Imajte na umu, tijekom primjene na vlastitim primjerima, formule su točne samo ako počinju s ainea = 1.

Rješenje "u dijelovima"

Ponekad funkcija zahtijeva nestandardni pristup kako bi došla do konačnog rezultata i zadovoljila uvjete jednakosti. Temeljna integracija i diferencijacija serija temelji se na identitetu koji se izražava: ∫ f(x) g’(x) dx = f (x) g(x) - ∫ f’(x) g(x) dx

Algoritam razmatrane tehnike je sljedeći:

1. Izrazite integriranu funkciju kao proizvod dva izraza. Označimo jedan od njih acepa (acepa), drugi acepa` (acepa).
2. Sada nastavite identificirati dvije druge formule koje se mogu primijeniti prilikom izvođenja prve točke. Serija će se promijeniti. Diferenciranjem transformiramo Ace `(Ace) da bismo dobili izraze Ace (Ace). Dolazimo do drugog dijela-asa (asa) integrira se u ASA`(asa). U isto vrijeme, internet ostaje u izvornom obliku i ne koristi se.
3. Umetnite rezultirajuće izraze u formulu u dijelovima. Postupak tu završava i sada možete pokušati procijeniti novi integral s desne strane jer je postao znatno lakši za razumijevanje.

Prije toga, metoda podataka uključivala je integraciju po dijelovima pomoću matrice. Metoda je okrunjena uspjehom, ali je dugo trajala, pa se sada koristi rjeđe, u posebnim slučajevima kada je rješenje gotovo nemoguće pronaći. Da biste to učinili, dovoljno je staviti Ace i Ace` u prvi redak i izračunati Ace `i Ace` u drugi.

Zašto nam je potrebna integracija po dijelovima?

Situacije se događaju drugačije. Ponekad su odluke mnogo složenije nego na prvi pogled. Stoga je potrebno istaknuti glavne probleme koji se često susreću s integriranjem i diferencijacijom nizova moći. Razmotrite dva osnovna pravila.

Prvo, dio koji namjeravamo integrirati, a to je onaj koji je odabran za `IP` (IP), moramo biti u mogućnosti pretvoriti. Napraviti važno je što je više moguće brzo. Stvar je u tome što sofisticirana integracija za ocean rijetko dovodi do poboljšanog integrala, povećavajući složenost. Sve to negativno utječe na slobodu našeg djelovanja tijekom odluka, a ovisi i o stupnjevima, sinusima i kosinusima. Neka potraga za pravim odgovorom potraje, ali će dovesti do ispravnog, a ne zbunjujućeg.

Drugo, sve ostalo, to jest dio koji namjeravamo razlikovati i označit će se s oceanom, trebalo bi se istaknuti nakon transformacije. Nakon jednostavnog postupka primijetit ćemo da će se novi integral pokazati pojednostavljenijim od prethodnika.

Dakle, kada kombiniramo dva pravila i koristimo ih u rješavanju, dobivamo priliku iskoristiti diferencijaciju i integraciju funkcija moći, koje ima smisla razmatrati u dijelovima.

Tu je i način za uklanjanje interneta, što vam omogućuje da učinkovito koristite transformacije u različitim situacijama. Na primjer, možemo se lako integrirati množenjem funkcije s polinomom koji smanjujemo diferencijacijom.

∫ x2 sin(3x) dx

∫ x7 cos(x) dx

∫x4 e4x dx

Kao što je to slučaj, uzimamo stupanj od A`S (općenito, polinom), a također koristimo A` S ` S ` S. Očito je da svaka diferencijacija smanjuje stupanj broja za jedan, stoga, ako je u primjeru dovoljno visok – primijenite temeljnu integraciju nekoliko puta. To će vam pomoći smanjiti vrijeme.

Složenost nekih jednadžbi

U ovom slučaju govorimo o diferencijaciji i integraciji serija moći. Funkcija se može promatrati kao da je a-je područje intervala konvergencije točaka. Istina, metoda nije prikladna za sve. Činjenica je da se bilo koje funkcije mogu izraziti u obliku niza moći, pretvarajući se u linearnu strukturu i obrnuto.

Na primjer, dato je od_x. Mi može ga izraziti kao jednadžbu koja je zapravo samo beskonačni polinom. Niz moći lako je uočiti izračunavanjem, ali nije uvijek učinkovit.

Definirani integral kao granica zbroja

Pogledajte sljedeću grafičku integraciju i diferencijaciju.

Da biste lako razumjeli složenu funkciju, dovoljno je pažljivo je razumjeti. Mi smo područje PRSQP između krivulje y = f (x), osi x i koordinatama x = a" i "x = b". Sada podijelite interval [a, a, a] na` a i ` jednakih podintervala označenih na sljedeći način: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]…. [xn - 1 , xn ].

Gdje je x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h… .. xr = a + rh i xn = b = a + nh ili n = (b - a) / h. (1). Imajte na umu da kada je 0.

Prostor o kojem je riječ je zbroj svih " IPA " podpodručja, gdje je svaka definirana na određenoj osrednjosti [h_r-1 , h_r ], r = 1, 2, 3… n. S pravim pristupom, ove se funkcije mogu podvrgnuti diferencijaciji i integraciji za brzo rješenje.

Sada pogledajte slike na slici. Na temelju toga preporučljivo je napraviti sljedeće zapažanje o područjima: (TV) < (ABDCA) < (ABDM).

Također imajte na umu da je s 0 ili H_r - h_r-1 Nasa 0 sva tri područja postaju gotovo jednaka jedno drugom. Stoga imamo:

sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + …. f(xn – 1)] = h r=0∑n–1 f(xr) (2)

ili Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + …. f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)

U ovom slučaju,_n i S_n označavaju zbroj površina svih donjih i gornjih pravokutnika podignutih iznad intervala_r–1, h_r] za iPhone = 1, 2, 3,..., iPhone, respektivno. Da bi se to stavilo u perspektivu, jednadžba (1) može se prepisati kao:

sn< područje područja (internet) < Sn … (4)

Nadalje, pretpostavlja se da su granične vrijednosti (2) i (3) jednake u oba slučaja, a zajedničko je samo područje ispod krivulje. Na kraju imamo:

limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = područja Aine = Aineab f(x) dx … (5)

Područje je također granična vrijednost prostora koja se nalazi između pravokutnika ispod krivulje i iznad krivulje. Radi praktičnosti trebali biste obratite pažnju na visinu figure jednake krivulji na lijevom rubu svakog podintervala. Stoga se jednadžba prepisuje u konačnu verziju:

∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

ili ∫ab f(x) dx = (b – a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]

Zaključak

Diferencijacija i integracija međusobno se razlikuju u brojnim svojstvima, formulama i suprotnim promjenama. Jedno se ne može pretvoriti u drugo bez pomoći. Ako diferencijacija pomaže u pronalaženju izvedenice, tada integracija izvodi potpuno drugačiju radnju. Dodaje neke dijelove, sposobna je pomoći u stupnjevima skraćivanjem ili usavršavanjem primjera pojednostavljivanjem.

Također se primjenjuje za provjeru diferencijalne jednadžbe. Drugim riječima, djeluju kao jedinstvena cjelina koja ne može koegzistirati odvojeno, jer se međusobno nadopunjuju. Primjenjujući pravila, poznavajući mnoge tehnike, sada vam je zajamčeno da ćete riješiti složene probleme.