Što je hiperboloid: jednadžba, konstrukcija, opće karakteristike

Da bi čitatelju bilo lakše zamisliti što je hiperboloid-trodimenzionalni objekt-prvo morate razmotriti istoimenu krivulju hiperbole koja se uklapa u dvodimenzionalni prostor.

Hiperbola ima dvije osi: stvarnu, na ovoj slici koja se podudara s osi apscise, i imaginarnu - s osi ordinata. Ako mentalno počnete okretati jednadžbu hiperbole oko njezine zamišljene osi, tada površina, "primjetna" krivulja će biti jednoposni hiperboloid.

Ako na ovaj način počnete okretati hiperbolu oko njene stvarne osi, tada svaka od dvije "polovice" krivulja će napraviti svoju zasebnu površinu, a zajedno će se to nazvati dvospolnim hiperboloidom.

Dobiveni rotacijom odgovarajuće ravninske krivulje nazivaju se hiperboloidi rotacije. Imaju parametre koji pripadaju rotacijskoj krivulji u svim smjerovima okomitim na os rotacije. Općenito nije.

Jednadžba hiperboloida

Općenito, površina se može dati sljedećim jednadžbama u kartezijanskim koordinatama(Ace, Ace, Ace):

U slučaju hiperboloida rotacije, njegova simetrija u odnosu na os oko koje je rotirana izražava se jednakošću koeficijenata Ina=Ina.

Karakteristike hiperboloida

Ima fokus. Znamo da krivulje u ravnini imaju žarišta - u slučaju hiperbole, na primjer, modul razlike udaljenosti od proizvoljne točke, na hiperboli do jednog fokusa i drugog konstantan je po definiciji, zapravo, točaka fokusa.

Pri prelasku u trodimenzionalni prostor definicija se praktički ne mijenja: žarišta su opet dvije točke, a razlika udaljenosti od njih do proizvoljne točke koja pripada površini hiperboloida je konstantna. Kao što se može vidjeti, iz promjena se pojavila samo treća koordinata za sve moguće točke, jer su sada dane u prostoru. Općenito govoreći, određivanje fokusa ekvivalentno je identificiranju vrste krivulje ili površine: govoreći o tome kako su površinske točke raspoređene u odnosu na žarišta, zapravo odgovaramo na pitanje što je hiperboloid i kako izgleda.

Vrijedno je zapamtiti da hiperbola ima asimptote-ravne crte kojima njezine grane teže u beskonačnosti. Ako se tijekom konstrukcije hiperboloida rotacije asimptote mentalno rotiraju zajedno s hiperbolom, tada će se pored hiperboloida dobiti i konus koji se naziva asimptotski. Asimptotski konus nalazi se i u jednokrakim i u dvokrakim hiperboloidima.

Još jedna važna karakteristika, dostupna samo u hiperboloidu s jednim listom , su pravocrtne tvorbe. Kao što naziv govori, to su linije i leže u potpunosti na određenoj površini. Kroz svaku točku jednokrakog hiperboloida prolaze dva pravocrtna generatora. Pripadaju dvjema obiteljima linija, koje su opisane sljedećim sustavima jednadžbi:

Dakle, monospinalni hiperboloid u cjelini može se sastojati od beskonačnog broja ravnih linija dviju obitelji, pri čemu će se svaka linija jedne od njih presijecati sa svim linijama druge. Površine koje zadovoljavaju takva svojstva nazivaju se ravnanjem; mogu se konstruirati rotacijom jedne ravne crte. Definicija kroz relativni raspored ravnih linija (pravocrtnih generatora) u prostoru također može poslužiti kao jednoznačna oznaka za ono što je hiperboloid.

Zanimljiva svojstva hiperboloida

Krivulje drugog reda i njihove odgovarajuće površine rotacije imaju zanimljiva optička svojstva povezana s žarišnim točkama. U slučaju hiperboloida, to se formulira na sljedeći način: ako se iz jednog fokusa oslobodi zraka, tada se reflektirajući od najbližeg "zidovi", poprimit će takav smjer kao da dolazi iz drugog fokusa.

Hiperboloidi u životu

Najvjerojatnije je većina čitatelja svoje upoznavanje s analitičkom geometrijom i površinama drugog reda započela fantastičnim romanom Alekseja Tolstoja "Hiperboloid inženjera Garina". Međutim, pisac ili sam nije dobro znao što je hiperboloid, ili je žrtvovao točnost radi umjetnosti: opisani izum prema fizičkim karakteristikama prilično je paraboloid koji skuplja sve zrake u jednom fokusu (dok su optička svojstva hiperboloida povezana s raspršivanjem zraka).

Takozvane hiperboloidne strukture vrlo su popularne u arhitekturi: to su strukture koje su u obliku jednopostnog hiperboloida ili hiperboličkog paraboloida. Činjenica je da samo ove površine rotacije drugog reda imaju pravocrtne generatore: na taj se način zakrivljena struktura može graditi samo od ravnih greda. Prednosti takvih struktura su u sposobnosti izdržavanja velikih opterećenja, na primjer, od vjetra: oblik hiperboloida koristi se u izgradnji visokih građevina, na primjer, TV tornjeva.