Black-Scholesova formula: definicija, metode istraživanja i primjer izračuna

Sadržaj

Povijest i bit
Opcije
Upravljanje rizikom
Volatilnost
Razlika pojmova
Aproksimacija
Eksplicitno modeliranje

Ovaj će članak objasniti Black-Scholes formulu jednostavnim riječima. Black-Scholes model je matematički model dinamike financijskog tržišta koji sadrži izvedene investicijske instrumente.

Iz parcijalne diferencijalne jednadžbe u modelu (poznatom kao Black-Scholesova jednadžba) može se izvesti Black-Scholesova formula. Daje teoretsku procjenu cijene opcija u europskom stilu i pokazuje da opcija ima jedinstvenu cijenu bez obzira na rizik vrijednosnog papira i njegov očekivani povrat (umjesto da očekivani povrat vrijednosnog papira Zamijeni rizično neutralnom stopom).

Formula je dovela do procvata trgovanja opcijama i osigurala matematički legitimitet aktivnosti Čikaške burze opcija i drugih tržišta opcija širom svijeta. Široko se koristi, iako često s prilagodbama i ispravcima, od strane sudionika na tržištu opcija. Na slikama u ovom članku možete vidjeti primjere Black-Scholes formule.

Povijest i bit

Na temelju radova koje su prethodno razvili istraživači i tržišni praktičari kao što su Louis Bachelier, Sheen Kassouf i Ed Thorpe, Fisher Black i Miron Scholes pokazali su krajem 1960-ih da dinamična revizija portfelja eliminira očekivani povratak sigurnosti.

1970. godine, nakon što su pokušali primijeniti formulu na tržišta i pretrpjeli financijske gubitke zbog nedostatka upravljanja rizikom u svojim profesijama, odlučili su se usredotočiti na svoje područje, akademsko okruženje. Nakon trogodišnjih napora, formula nazvana po njihovom objavljivanju konačno je objavljena 1973. godine u članku pod naslovom "cijene opcija i korporativnih obveza" u časopisu Journal of political Economics. Robert C. Merton je prvi objavio rad koji proširuje matematičko razumijevanje modela određivanja cijena opcija i skovao izraz "Black-Scholes model određivanja cijena".

Za svoj rad Merton i Sholes dobili su Nobelovu memorijalnu nagradu za ekonomske znanosti 1997. godine, Odbor, navodeći da su otvorili dinamičnu reviziju neovisnu o riziku kao proboj koji odvaja opciju od rizika osnovne sigurnosti. Iako nije dobio nagradu zbog svoje smrti 1995. godine, Švedski akademik spomenuo je Blacka kao natjecatelja. Na donjoj slici možete vidjeti tipičnu formulu za izračun Black-Scholesa.

Opcije

Glavna ideja ovog modela je zaštititi opciju pravilnom kupnjom i prodajom temeljne imovine i, kao rezultat, uklanjanjem rizika. Ova vrsta zaštitne mreže naziva se "stalno ažurirana Delta zaštita". To je okosnica složenijih strategija, poput onih koje koriste investicijske banke i hedge fondovi.

Upravljanje rizikom

Pretpostavke modela ublažene su i generalizirane u mnogim smjerovima, što je dovelo do mnogih modela koji se trenutno koriste u određivanju cijena derivata i upravljanju rizikom. Razumijevanje modela, kao što je prikazano u Black-Scholes formuli, često koriste sudionici na tržištu, za razliku od stvarnih cijena. Ti detalji uključuju nepostojanje arbitražnih granica i cijene neovisne o riziku (zahvaljujući stalnoj reviziji). Uz to, black-Scholesova jednadžba, parcijalna diferencijalna jednadžba koja određuje cijenu Opcije, omogućuje određivanje cijena numeričkim metodama kada eksplicitna formula nije moguća.

Volatilnost

Black-Scholesova formula ima samo jedan parametar koji se ne može izravno promatrati na tržištu: prosječna buduća volatilnost temeljne imovine, iako se može naći po cijeni drugih opcija. Budući da se vrijednost parametra (bilo da se radi o "položenom" ili "pozivu") povećava u ovom parametru, može se obrnuti kako bi se dobila "površina volatilnosti" koja se zatim koristi za kalibraciju drugih modela, poput OTC derivata.

S obzirom na ove pretpostavke, pretpostavimo da se na ovom tržištu trguje i izvedenim vrijednosnim papirima. Naznačujemo da će ovaj vrijednosni papir imati određenu isplatu na određeni datum u budućnosti, ovisno o vrijednosti koju je dionica prihvatila prije tog datuma. Iznenađujuće je da je cijena derivata u potpunosti određena u ovom trenutku, iako ne znamo kojim će putem ići cijena dionica u budućnosti.

Za poseban slučaj Europske opcije "poziv" ili "put" Black i Sholes pokazali su da je moguće stvoriti zaštićenu poziciju koja se sastoji od duge pozicije u dionici i kratke pozicije u opciji čija vrijednost neće ovisiti o cijeni dionice. Njihova dinamička strategija zaštite rezultirala je parcijalnom diferencijalnom jednadžbom koja je odredila cijenu Opcije. Njegovo rješenje daje formula Black-Scholes.

Razlika pojmova

Black-Scholesova formula za TV može se protumačiti prvo razbijanjem opcije "poziv" o razlici dviju binarnih opcija. Opcija "poziv" razmjenjuje gotovina na imovinu po isteku, dok pozivna imovina sa ili bez imovine samo daje imovinu (bez gotovine u zamjenu), i "poziv" bezgotovinsko plaćanje samo vraća novac (bez zamjene imovine). Black-Scholesova formula za opciju je razlika između dva pojma, a dva pojma jednaka su vrijednosti binarnih opcija poziva. Te se binarne opcije prodaju mnogo rjeđe od opcija vanilije, ali ih je lakše analizirati.

U praksi se neke vrijednosti osjetljivosti obično daju u skraćenom izrazu kako bi odgovarale skali vjerojatnih promjena parametara. Na primjer, često se izvješćuje o 10.000 (promjena od 1 bazne točke), 100 (promjena od 1 volumetrijske točke) i theta od 365 ili 252 (pad od 1 dana na temelju kalendarskih dana ili trgovinskih dana u godini).

Gore opisani model može se proširiti na varijabilne (ali determinističke) stope i volatilnost. Model se također može koristiti za procjenu europskih opcija na instrumentima isplate dividendi. U ovom su slučaju dostupna rješenja zatvorenog oblika Ako je dividenda poznati udio cijene dionice. Američke i dioničke opcije koje isplaćuju poznatu novčanu dividendu (kratkoročno, realnije od proporcionalne dividende) teže je procijeniti, a dostupan je i izbor metoda rješavanja (npr.

Aproksimacija

Korisna aproksimacija: iako volatilnost nije konstantna, rezultati modela često pomažu u postavljanju zaštite u pravim omjerima kako bi se rizik sveo na najmanju moguću mjeru. Čak i ako rezultati nisu u potpunosti točni, oni služe kao prva aproksimacija na koju se mogu izvršiti prilagodbe.

Osnova za bolje modele: Black-Scholes model je robustan u smislu da se može prilagoditi kako bi se nosio s nekim od njegovih kvarova. Umjesto da neke parametre (poput volatilnosti ili kamatnih stopa) tretiramo kao konstantne, mi ih tretiramo kao varijable i na taj način dodajemo izvore rizika.

To se odražava na Grke (promjena vrijednosti opcije za promjenu ovih parametara ili ekvivalent parcijalnim izvedenicama nad tim varijablama), A zaštita ovih Grka smanjuje rizik uzrokovan nestalnom prirodom ovih parametara. Međutim, drugi se nedostaci ne mogu otkloniti promjenom modela, posebno rizikom repa i rizikom likvidnosti, već se njima upravlja izvan modela, uglavnom minimiziranjem tih rizika i testiranjem otpornosti na stres.

Eksplicitno modeliranje

Eksplicitno modeliranje: ova značajka znači da se umjesto pretpostavljanja volatilnosti a priori i izračunavanja cijena iz nje, model može koristiti za određivanje volatilnosti koja daje impliciranu volatilnost opcije po danim cijenama, rokovima i udarnim cijenama. Rješavanjem volatilnosti tijekom određenog skupa trajanja i cijena štrajka može se konstruirati površina implicirane volatilnosti.

U ovoj primjeni Black-Scholes modela dobivena je transformacija koordinata iz područja cijena u područje volatilnosti. Umjesto da cijene opcija navode u dolarima po jedinici (koje je teško usporediti po štrajkovima, trajanju i učestalosti kupona), cijene opcija mogu se navesti u smislu implicirane volatilnosti, što dovodi do trgovanja volatilnošću na tržištima opcija.