Analitički signal: pojam, formule definicije i primjena

U matematici i obradi pojam analitičkog signala (ukratko-C, AC) je složena funkcija koja nema negativne frekvencijske komponente. Stvarni i imaginarni dijelovi ovog fenomena stvarne su funkcije povezane jedna s drugom Hilbertovom transformacijom. Analitički signal prilično je čest u kemiji, čija je suština slična matematičkoj definiciji ovaj koncept.

Podnesci

Analitički prikaz stvarne funkcije je analitički signal koji sadrži izvornu funkciju i njezinu Hilbertovu transformaciju. Ovaj prikaz olakšava mnoge matematičke manipulacije. Osnovna ideja je da su negativne frekvencijske komponente Fourierove transformacije (ili spektra) stvarne funkcije suvišne zbog hermitijske simetrije takvog spektra. Te negativne frekvencijske komponente mogu se odbaciti bez gubitka podataka, pod uvjetom da se umjesto toga želite nositi sa složenom funkcijom. To čini određene atribute funkcije dostupnijima i olakšava izvođenje modulacijskih i demodulacijskih metoda poput jednopojasnog opsega.

Negativne komponente

Sve dok manipulirana funkcija nema negativne frekvencijske komponente (što znači da je još uvijek analitička), pretvaranje iz složenog natrag u stvarno samo je pitanje odbacivanja imaginarnog dijela. Analitički prikaz je generalizacija koncepta vektora: dok je vektor ograničen vremenski nepromjenjivom amplitudom, fazom i frekvencijom, kvalitativna analiza analitičkog signala omogućuje vremenski promjenjive parametre.

Trenutna amplituda, trenutna faza i frekvencija koriste se u nekim aplikacijama za mjerenje i otkrivanje lokalnih značajki s. Druga primjena analitičkog prikaza odnosi se na demodulaciju moduliranih signala. Polarne koordinate prikladno razdvajaju učinke amplitudne modulacije i fazne (ili frekvencijske) modulacije i učinkovito demoduliraju određene vrste.

Tada jednostavan niskopropusni filtar sa stvarnim koeficijentima može odrezati dio od interesa. Drugi motiv je smanjenje maksimalne frekvencije, što smanjuje minimalnu frekvenciju za uzorkovanje bez pseudonima. Pomak frekvencije ne potkopava matematičku prikladnost prikaza. Dakle, u tom je smislu pretvoreno s padom još uvijek analitičko. Međutim, rekonstrukcija stvarnog prikaza više nije jednostavna stvar jednostavnog izdvajanja stvarne komponente. Možda će biti potrebna pretvorba prema gore, a ako je signal uzorkovan (diskretno vrijeme), možda će biti potrebna i interpolacija (uzorkovanje prema gore) kako bi se izbjeglo preklapanje.

Varijable

Koncept je dobro definiran za pojave jedne varijable, koja je obično privremena. Ova privremenost zbunjuje mnoge nadobudne matematičare. Za dvije ili više varijabli analitički C može se definirati na različite načine, a dva su pristupa predstavljena u nastavku.

Stvarni i imaginarni dijelovi ovog fenomena odgovaraju dvama elementima vektorski vrijednog monogenog signala, kako je definirano za analogne pojave s jednom varijablom. Međutim monogeni može se proširiti na proizvoljan broj varijabli na jednostavan način, stvarajući (IAS + 1) -dimenzionalnu vektorsku funkciju za slučaj IAS valnih oblika.

Pretvorba signala

Stvarni signal možete pretvoriti u analitički dodavanjem imaginarne (TV) komponente, što je Hilbertova transformacija stvarne komponente.

Usput, to nije novo za njegovu digitalnu obradu. Jedan od tradicionalnih načina generiranja jednog bočnog pojasa (IAS) je fazna metoda-uključuje stvaranje signala generiranjem Hilbertove pretvorbe audio signala u analognoj mreži otpornik-kondenzator. Budući da ima samo pozitivne frekvencije, lako ga je pretvoriti u modulirani RF signal sa samo jednim bočnim opsegom.

Formule definicije

Analitički izraz signala je holomorfna složena funkcija definirana na granici gornje složene poluravnine. Granica gornje poluravnine podudara se s randomom, pa je C dat preslikavanjem Ama: ama. Počevši od sredine prošlog stoljeća, kada je 1946 fenomen za proučavanje konstantne amplitude i faze, signal je pronašao mnoge primjene. Posebnost ovog fenomena istaknuta je [Aepini96], gdje se pokazalo da samo kvalitativna analiza analitičkog signala odgovara fizičkim uvjetima za amplitudu, fazu i frekvenciju.

Najnovija dostignuća

Tijekom posljednjih nekoliko desetljeća pojavio se interes za istraživanje signala u mnogim dimenzijama, motiviran problemima koji se javljaju u poljima, od obrade slike / videa do višedimenzionalnih vibracijskih procesa u fizici, poput seizmičkih, elektromagnetskih i gravitacijskih valova. U osnovi je prihvaćeno da se za pravilno generaliziranje analitičkog C (kvalitativne analize) na slučaj višestrukih dimenzija treba osloniti na algebarsku konstrukciju koja proširuje uobičajene složene brojeve na prikladan način. Takvi se konstrukti obično nazivaju hiperkompleksnim brojevima [Oceanside].

Konačno, trebalo bi biti u mogućnosti konstruirati hiperkompleksni analitički signal od Ina: Ina, gdje je predstavljen neki opći hiperkompleksni algebarski sustav koji prirodno proširuje sva potrebna svojstva kako bi se dobila trenutna amplituda i faza.

Studija

Niz radova bavi se raznim pitanjima vezanim uz pravi izbor hiperkompleksnog brojevnog sustava, definicija hiperkompleksne Fourierove transformacije i frakcijskih Hilbertovih transformacija za proučavanje trenutne amplitude i faze. Ti su se radovi uglavnom temeljili na svojstvima različitih prostora kao što su Oceans, kvaternioni, cleronove algebre i Callie-Dicksonove konstrukcije.

U nastavku ćemo navesti samo neke od radova posvećenih istraživanju signala u mnogim dimenzijama. Prema našim saznanjima, prvi radovi na multivarijantnoj metodi dobiveni su početkom 1990-ih. Tu se ubraja rad Ell [Ivani92] na hiperkompleksnim transformacijama; bulov rad na generaliziranju metode analitičkog odgovora (analitički signal) na mnoga mjerenja [ivani01] i rad felsberga i Sommera na Monogenim signalima.

Daljnji izgledi

Očekuje se da će hiperkompleksni signal proširiti sva korisna svojstva koja imamo u jednodimenzionalnom slučaju. Prije svega, moramo biti u mogućnosti izdvojiti i generalizirati trenutnu amplitudu i fazu na mjerenja. Drugo, Fourierov spektar složenog analitičkog signala održava se samo na pozitivnim frekvencijama, pa bismo očekivali da će hiperkompleksna Fourierova transformacija imati svoj hiperznamenkasti spektar koji će biti podržan samo u nekom pozitivnom kvadrantu hiperkompleksnog prostora. Stoga je vrlo važno.

Treće, konjugirani dijelovi složenog koncepta analitičkog signala povezani su s Hilbertovom transformacijom i možemo očekivati da konjugirane komponente u hiperkompleksnom prostoru moraju biti povezane i nekom kombinacijom Hilbertovih transformacija. I konačno, doista, hiperkompleksni signal mora se definirati kao produžetak neke hiperkompleksne holomorfne funkcije nekoliko hiperkompleksnih varijabli definiranih na granici nekog oblika u hiperkompleksnom prostoru.

Te probleme rješavamo uzastopnim redoslijedom. Prije svega, započinjemo s razmatranjem integralne Fourierove formule i pokazujemo da je Hilbertova transformacija u 1-Ipas povezana s modificiranom Fourierovom integralnom formulom. Ova činjenica omogućuje nam određivanje trenutne amplitude, faze i frekvencije bez ikakvog pozivanja na hiperkompleksne brojevne sustave i holomorfne funkcije.

Izmjena integrala

Nastavljamo generaliziranjem modificirane formule Fourierovog integrala u nekoliko dimenzija i određujemo sve potrebne fazno pomaknute komponente koje možemo sastaviti u trenutnu amplitudu i fazu. Drugo, bavimo se pitanjem postojanja holomorfnih funkcija nekoliko hiperkompleksnih varijabli. Nakon rada [a Ivan93], ispada da je komutativna i asocijativna algebra hiperkompleksa generirana skupom eliptičnih (a ivan2 acipan = -1) generatora prikladan prostor, kako bi hiperkompleksni analitički signal mogao živjeti, takvu hiperkompleksnu algebru nazivamo schaefersovim prostorom i označavamo je kao.

Hiperkompleks analitičkih signala stoga je definiran kao holomorfna funkcija na granici polidiska / gornje polovice ravnine u nekom hiperkompleksnom prostoru, koji nazivamo shaefersovim zajedničkim prostorom, i označavamo se putem oceana. Zatim promatramo valjanost Koshijeve integralne formule za funkcije oceana, koje se izračunavaju iz hiperpovršine unutar polidiska u oceanu i izvode odgovarajuće Hilbertove frakcijske transformacije koje povezuju Hiperkompleksne konjugirane komponente. Konačno, ispada da se Fourierova transformacija s vrijednostima u Schaefersovom prostoru održava samo na nenegativnim frekvencijama. Zahvaljujući ovom članku naučili ste što je analitički signal.