Problemi optimizacije: pojam, metode rješenja i klasifikacija

Optimizacija pomaže u pronalaženju najboljeg rezultata koji donosi dobit, smanjuje troškove ili postavlja parametar koji uzrokuje neuspjeh poslovnih procesa.

Taj se postupak naziva i matematičkim programiranjem. Rješava problem utvrđivanja raspodjele ograničenih resursa potrebnih za postizanje cilja zadatka optimizacije od strane voditelja. Od svih dopuštenih opcija, poželjno je pronaći onu koja maksimizira (ili smanjuje) kontrolni parametar, na primjer, dobit ili trošak. Modeli optimizacije nazivaju se i preskriptivnim ili normativnim jer nastoje pronaći moguću strategiju za poslovanje.

Povijest razvoja

Linearno programiranje (LP) radi s klasom problema optimizacije gdje su sva ograničenja linearna.

Predstavlja kratku povijest razvoja LP-a:

• 1762. Lagrange je riješio jednostavne probleme optimizacije s ograničenjima jednakosti.
• 1820. Gauss je eliminacijom riješio linearni sustav jednadžbi.
• 1866. Vilhelm Jordan poboljšao je metodu pronalaženja pogrešaka najmanjih kvadrata kao kriterij podudaranja. Sada se zove Gaussovom metodom-Jordana.
• 1945. godine pojavilo se digitalno računalo.
• 1947. Danzig je izumio jednostavne metode.
• 1968. Fiacco i McCormick uveli su metodu "unutarnja točka".
• 1984. Karmarkar je primijenio metodu interijera za rješavanje linearnih programa, dodajući svoju inovacijsku analizu.

LP se pokazao izuzetno moćnim alatom kako za modeliranje stvarnih problema, tako i kao široko primijenjena matematička teorija. Međutim, mnogi zanimljivi problemi optimizacije su nelinearni.

Što učiniti u ovom slučaju? Istraživanje takvih problema uključuje raznoliku mješavinu linearne algebre, multivarijantnog računa, numeričke analize i računskih metoda. Znanstvenici se bave razvojem računalnih algoritama, uključujući metode unutarnjih točaka za linearno programiranje, geometriju, analizu konveksnih skupova i funkcija te proučavanje posebno strukturiranih problema poput kvadratnog programiranja.

Nelinearna optimizacija pruža temeljno razumijevanje matematičke analize i široko se koristi u različitim područjima kao što su dizajn, regresijska analiza, upravljanje zalihama, geofizička istraživanja i ekonomija.

Klasifikacija optimizacijskih problema

Važan korak u procesu optimizacije je klasifikacija modela jer su njihovi algoritmi rješenja prilagođeni određenoj vrsti.

1. Problemi s diskretnom i kontinuiranom optimizacijom. Sami modeli imaju smisla samo ako varijable uzimaju vrijednosti iz diskretnog skupa podskupa cijelih brojeva. Drugi sadrže podatke koji mogu poprimiti bilo koju stvarnu vrijednost. Obično ih je lakše riješiti. Poboljšanja algoritama u kombinaciji s napretkom u računarstvu dramatično su povećala veličinu i složenost problema optimizacije linearno programiranje.

2. Neograničena i ograničena optimizacija. Druga važna razlika su zadaci u kojima ne postoji ograničenje varijabli. Može se uvelike razlikovati od jednostavnih procjena do sustava jednakosti i nejednakosti koji modeliraju složene odnose između podataka. Takvi se problemi optimizacije mogu dalje klasificirati prema prirodi funkcija (linearne i nelinearne, konveksne i glatke, diferencirane i nediferencirane).

3. Zadaci izvedivosti. Njihov je cilj pronaći vrijednosti varijabli koje zadovoljavaju ograničenja modela bez posebnog cilja optimizacije.

4. Zadaci komplementarnosti. Oni su široko rasprostranjeni u inženjerstvu i ekonomiji. Cilj je pronaći rješenje koje zadovoljava uvjete komplementarnosti. U praksi se zadaci s više ciljeva često preformuliraju u jedinstvene objektivne.

5. Deterministička vs stohastička optimizacija. U determinističkoj optimizaciji pretpostavlja se da su podaci za problem apsolutno točni. Međutim, za mnoga relevantna pitanja možda neće biti poznata iz više razloga.

Prva je povezana s jednostavnom pogreškom mjerenja. Drugi razlog je temeljniji. Sastoji se u činjenici da neki podaci predstavljaju informacije o budućnosti, na primjer, potražnju za proizvodom ili cijenu za buduće vremensko razdoblje. U optimizaciji u stohastičkim uvjetima optimizacije, nesigurnost je uključena u model.

Glavne komponente

Ciljna funkcija je ona koju treba minimizirati ili maksimizirati. Većina vrsta optimizacijskih problema ima jednu ciljnu funkciju. Ako ne, tada se često mogu preformulirati tako da se izvršavaju.

Dvije iznimke od ovog pravila:

1. Zadatak pronalaženja cilja. U većini poslovnih aplikacija Upravitelj želi postići određeni cilj, istovremeno zadovoljavajući ograničenja modela. Korisnik ne želi posebno nešto optimizirati, pa nema smisla definirati ciljnu funkciju. Ova vrsta obično se naziva problemom izvedivosti.

2. Mnogo objektivnih značajki. Često bi korisnik želio optimizirati nekoliko različitih ciljeva odjednom. Obično nisu kompatibilni. Varijable koje optimiziraju jedan cilj mogu biti daleko od najbolji za ostali.

Vrste komponenata:

• Upravljani ulaz je skup varijabli odluke koje utječu na vrijednost ciljne funkcije. U proizvodnom zadatku varijable mogu uključivati raspodjelu različitih raspoloživih resursa ili rad potreban za svaku aktivnost.
• Ograničenja su odnosi između varijabilnih rješenja i parametara. Nema smisla da proizvodni problem troši veliku količinu vremena na bilo koju aktivnost, pa ograničite sve" vremenske " varijable.
• Moguća i optimalna rješenja. Vrijednost rješenja za varijable, u kojem sva ograničenja su ispunjena, naziva se izvedivo. Većina algoritama ga prvo pronađe, a zatim pokuša poboljšati. Konačno, oni mijenjaju varijable kako bi prešli s jednog izvedivog rješenja na drugo. Taj se postupak ponavlja sve dok ciljna funkcija ne dosegne svoj maksimum ili minimum. Taj se rezultat naziva optimalno rješenje.

Algoritmi za optimizaciju problema razvijeni za sljedeće matematičke programe široko se koriste:

• Konveksni.
• Dijeljeni.
• Kvadratni.
• Geometrijski.

Linearni rješavači oceana

Linearna optimizacija ili programiranje naziv je koji se daje računalnom procesu optimalnog rješavanja problema. Modeliran je kao skup linearnih odnosa koji se javljaju u mnogim znanstvenim i inženjerskim disciplinama.

Google nudi tri načina rješenja problema linearne optimizacije:

• Biblioteka otvorenog koda.
• Dodatak za Ace za Ace.
• Usluga linearne optimizacije u oceanu.

Internet je linearni rješavač ugrađen u Internet. Dostupan je s otvorenim kodom. Može se pristupiti asa putem asa linearnog rješavača Packera, što je ljuska za Asa.

Modul za linearnu optimizaciju za iPhone omogućuje linearnu formulaciju problema optimizacije unosom podataka u proračunsku tablicu.

Kvadratno programiranje

Platforma Premium Solver koristi proširena LP/Quadratic verziju metoda Simplex s ograničenjima za obradu zadataka LP i QP do 2000 varijabli rješenja.

IAS za velike probleme koristi modernu implementaciju metode aktivnog skupa s rijetkošću za rješavanje problema kvadratnog programiranja (IAS). Mehanizam IPHINE koristi prirodno proširenje metode "Unutarnje točke" ili Njutn-barijera za rješavanje problema QP.

Internet primjenjuje metode implementiran "Unutarnje točke" i auto-Dual. To je posebno učinkovito za slabo povezane zadatke u vezi s oceanom. Također se može nositi s problemima kvadratnog ograničenja skale (IP) i konusnog programiranja drugog reda (IP).

Višeoperativno računanje

Oni se prilično uspješno koriste uz primjenu mogućnosti od strane ASPI, na primjer, rješavanje problema optimizacije u ASPI.

Gornja tablica ima sljedeće oznake:

• Amapa1-Amapa6-kupci koji trebaju dostaviti robu.
• Aima1-Aima6-potencijalna proizvodna mjesta koja bi se mogla izgraditi za to. Može se stvoriti 1,2,3,4,5 ili svih 6 lokacija.

Za svaki objekt postoje fiksni troškovi navedeni u stupcu Ace (Ace).

Ako lokacija ništa ne promijeni, neće se računati. Tada neće biti fiksnih troškova.

Odredite potencijalne lokacije kako biste dobili najnižu cijenu.

U ovim uvjetima lokacija je ili postavljena ili nije. To su dva stanja:" true – false " ili "1-0". Postoji šest stanja za šest lokacija, na primjer, za 000001 postavljeno je samo šesto, za 111111-sve.

U binarnom brojevnom sustavu postoje točno 63 različite varijante od 000001 (1) do 111111 (63).

The Ipa2-Ipa64 sada bi trebao stajati {= apa (IPA1)}, ovo su rezultati svih alternativnih rješenja. Tada je minimalna vrijednost = AMAP (AMAP), a odgovarajuća alternativa je AMAP (AMAP).

Cjelobrojno programiranje

Ponekad linearni odnosi nisu dovoljni da se uhvati srž poslovnog problema. To je osobito istinito kada odluke uključuju diskretne izbore, poput otvaranja skladišta na određenom mjestu ili ne. U tim se situacijama mora koristiti cjelobrojno programiranje.

Ako problem uključuje sebe kao diskretni i kontinuirani odabir, To je mješoviti cjelobrojni program. Može imati linearne, konveksne kvadratne probleme i ista ograničenja drugog reda.

Cjelobrojni programi mnogo su složeniji od linearnih, ali imaju važne poslovne aplikacije. Softver IASNI koristi složene matematičke tehnike za rješavanje cjelobrojnih problema. Njegove metode uključuju sustavno traženje mogućih kombinacija diskretnih varijabli pomoću linearnih ili kvadratnih softverskih relaksacija za izračunavanje granica vrijednosti optimalnog rješenja.

Za izračunavanje ograničenja koriste se i za rješavanje problema s optimizacijom i drugim metodama.

Standardni Microsoft Excel Solver

Ova tehnologija koristi osnovnu implementaciju osnovne metode AMAP za rješavanje problema s AMAP-om. Ograničeno je na 200 varijabli. "Premium Solver" koristi poboljšanu primarnu simpleks metodu s dvostranim granicama za varijable. Platforma Iranica koristi naprednu verziju Ira / Ira za rješavanje problema optimizacije s do 2000 varijabilnih odluka.

Ina-ovi velikih razmjera za platformu ina primjenjuje modernu implementaciju metode jednostavnog i dvostrukog simpleksa koja koristi rijetkost u modelu ina-a za uštedu vremena i memorije, napredne strategije za ažuriranje i REFAKTORIZACIJU matrica, višestruke i djelomične cijene i preokrete te za prevladavanje degeneracije. Ovaj je mehanizam Dostupan u tri verzije (s mogućnošću obrade do 8.000, 32.000 ili neograničenog broja varijabli i ograničenja).

IPA uključuje primarnu i dualnu simpleks metodu koja također iskorištava rijetkost i koristi napredne strategije za ažuriranje matrice i "IPA". Rješava probleme neograničene veličine, testiran je na problemi linearnog programiranja s milijunima varijabilnih odluka.

Korak-po-korak primjer u astronomiji

Da bi se definirao model optimizacijskog zadatka u oceanima, slijede koraci:

• Organizirajte podatke za problem u proračunskoj tablici u logički oblik.
• Odaberite ćeliju za pohranu svaka varijabla.
• Stvorite formulu za izračun ciljnog matematičkog modela problema optimizacije u ćeliji.
• Stvorite formule za izračunavanje lijeve strane svakog ograničenja.
• Koristite dijaloge u vezi s internetom za informiranje "Solveru" o varijablama odluke, ciljevima, ograničenjima i željenim granicama ovih parametara.
• Pokrenuti "Solver", da biste pronašli optimalno rješenje.
• Kreirajte list onamo.
• Poredati podatke za problem u Untina, gdje se izračunava formula za ciljnu funkciju i ograničenje.

Gornja tablica rezervirala je Stanice Ace4, Ace4, Ace4 i Ace4 za predstavljanje varijabli donošenje odluke Internet 1, Internet 2, Internet 3 i Internet 4. Primjeri rješenja:

• Model asortimana proizvoda (dobit za svaku vrstu proizvoda od 450 USD, 1150 USD, 800 USD i 400 USD) uveden je u stanice Arean5, Arean5, Arean5 i Arean5. To je moguće izračunati cilj F5 = B5 * B4 + C5 * C4 + D5 * D4 + E5 * E4 ili F5: = SUMPRODUCT (B5: E5, B4: E4).
• The Iphine8 uvode količinu resursa, potrebno za Proizvodnja proizvoda svake vrste.
• Formula za F8: = SUMPRODUCT (B8: E8, $ B $ 4: $ E $ 4).
• Kopiraju ovu formulu u Oceani9. Dolarski znakovi u $ 4 $ $ 4: $ 4 $ $ 4 pokazuju da ovaj raspon stanica ostaje konstantan.
• The Opini8 uvode raspoloživu količinu resursa svake vrste koja odgovara vrijednostima ograničenja s desne strane. To vam omogućuje da ih izrazite na ovaj način: Astronomija11<= G8: G11.
• To je ekvivalentno četiri ograničenja u vezi s Oceani8<= G8, F9 <= G9, F10 <= Ipa10 i Ipa11 <= G11. Moguće je unijeti ovaj skup izravno u dijaloške okvire Amaphani4: amaphani4 zajedno s Nenegativnim Uvjetima amaphani4> = 0

Područja praktične primjene metode

Linearna optimizacija ima mnogo praktičnih primjena kao primjer problema optimizacije:

Tvrtka može napraviti nekoliko proizvoda s poznatom maržom doprinosa. Za proizvodnju jedinice svakog komada potrebna je poznata količina ograničenih resursa. Cilj je stvoriti proizvodni program kako bi se utvrdilo koliko svakog proizvoda treba proizvesti tako da profit tvrtke bude maksimalan bez kršenja ograničenja resursa.

Problemi miješanja rješenje su problema optimizacije koji uključuju kombiniranje sastojaka u konačni proizvod. Primjer za to je problem prehrane koji je proučavao George Danzig 1947. godine. Navedeni su brojni sirovine, na primjer, zob, svinjetina i suncokretovo ulje, kao i njihov sadržaj hranjivih tvari, na primjer, proteini, masti, vitamin A i njihova cijena po kilogramu. Izazov je miješati jedan ili više krajnjih proizvoda iz sirovina uz minimalne troškove, pod uvjetom da se poštuju minimalnih i maksimalnih ograničenja njihove hranjive vrijednosti.

Klasična primjena problema linearne optimizacije je definiranje usmjeravanja za potrebe prometa u telekomunikacijskim ili prometnim mrežama. Pri tome se niti moraju usmjeravati kroz mrežu na takav način da se ispunjavaju svi prometni zahtjevi bez kršenja uvjeta propusnosti.

Unutar matematičke teorije, linearna optimizacija može se koristiti za izračunavanje optimalnih strategija u igrama s nultim zbrojem za dvije osobe. Ovo izračunava raspodjelu vjerojatnosti za svakog sudionika, što je faktor slučajnog miješanja njegovih strategija.

Bez optimizacije nijedan uspješan poslovni proces na svijetu nije moguć. Na raspolaganju je mnogo algoritama za optimizaciju. Neke su metode prikladne samo za određene vrste problema. Važno je znati prepoznati njihove karakteristike i odabrati odgovarajuću metodu rješenja.