Problemi linearnog programiranja izjava o problemu: metode rješavanja i oblikovanje

Za ekonomiste je često potrebno optimizirati proizvodnu funkciju, maksimizirati je ili minimizirati, poput dobiti, gubitka ili drugih podataka s obzirom na linearno ograničenje. Razumijevanje problema linearnog programiranja i postavljanje problema-to zahtijeva poznavanje osnova matematike i statistike. Zadatak linearnog programiranja (IAS) je definirati funkciju za dobivanje optimalnih podataka. To je jedan od najvažnijih alata za istraživanje poslovanja. Također se široko koristi kao pomoć u donošenju odluka u mnogim industrijama: područjima ekonomije, računalnih znanosti, matematike i drugih suvremenih praktičnih studija.

Karakteristike problema linearnog programiranja

Razlikuju se sljedeće karakteristike:

1. Optimizacija. Temelj problema linearnog programiranja i postavljanja problema optimizacije je maksimiziranje ili minimiziranje neke baze podataka koja je predmet istraživanja. To je uobičajeno u ekonomiji, poslovanju, oglašavanju i mnogim drugim područjima koja zahtijevaju učinkovitost s ciljem očuvanja resursa. To uključuje pitanja profita, nabave resursa, vrijeme proizvodnje i druge važne ekonomske pokazatelje.
2. Linearnost. Kao što i samo ime govori, Svi zadaci na internetu imaju znak linearnosti. Međutim, ponekad zavarava, jer se linearnost odnosi samo na varijable 1. stupnja, isključujući funkcije snage, kvadratne korijene i druge nelinearne ovisnosti. Međutim, to ne znači da funkcije problema s oceanom imaju samo jednu varijablu. Ona se odnosi na varijable kao koordinate točaka na ravnoj liniji, isključujući bilo kakvu zakrivljenost.
3. Objektivna funkcija. Temelj problema linearnog programiranja i postavljanja problema objektivnosti su varijable koje se mijenjaju po volji, na primjer, vrijeme provedeno na poslu, proizvedene jedinice robe. Ciljna funkcija napisana je velikim slovom"internet".
4. Ograničenja. Svi su oceani ograničeni na varijable unutar funkcije. Ta ograničenja imaju oblik nejednakosti, na primjer,"<3", gdje se može vidjeti kako bi se prikazale jedinice knjiga koje je autor napisao mjesečno. Te nejednakosti utvrđuju kako se ciljna funkcija može maksimizirati/minimizirati jer zajedno definiraju domene donošenje odluke.

Uvjeti definicija zadataka

Tvrtke nastoje ostvariti najveću profitabilnost u svom poslovanju, stoga moraju maksimalno iskoristiti resurse koje imaju: ljudski, materijali, oprema, sredstva i drugi. LP čini kao koristan alat koji pomaže u određivanju najboljeg rješenja u tvrtki.

Uvjeti za izvršavanje linearnih programskih zadataka i postavljanje problema potrebno za ostvarivanje maksimalne neto dobiti. Da bi se riješio problem interneta, mora imati:

1. Ograničenja ili ograničeni resursi, poput ograničenog broja radnika, maksimalnog broja kupaca ili ograničenog gubitka proizvodnje.
2. Cilj: maksimiziranje prihoda ili minimiziranje troškova.
3. Proporcionalna linearnost. Jednadžbe koje generiraju odlučujuće varijable moraju biti linearne.
4. Homogenost: karakteristike varijabli odluke i resursa su iste. Na primjer, radno vrijeme osobe jednako je produktivno ili su proizvodi izrađeni na stroju identični.
5. Djeljivost: proizvodi i resursi mogu se prikazati kao razlomak.
6. Nedostatak negativnosti: rješenja moraju biti pozitivna ili jednaka nuli.

Objektivnost funkcije u formulaciji glavnog problema linearnog programiranja matematički izražava cilj koji treba postići u rješavanju problema. Na primjer, maksimiziranje dobiti tvrtke ili minimiziranje troškova proizvodnje.

Čini se da je to jednadžba s promjenjivim rješenjem, gdje: IPA 1, IPA 2, IPA 3, ..., Internet — varijable odluke; inam 1, Inam 2, Inam 3, ..., Konstante.

Svako ograničenje izražava se matematički s bilo kojom od ovih značajki:

1. Manje ili jednako (TV). Kada postoji gornja granica, na primjer, prekovremeni rad Ne može biti duži od 2 sata dnevno.
2. Jednak (=). Označava obvezujući odnos, na primjer, završni inventar jednak je početnom inventaru Plus proizvodnja minus prodaja.
3. Veći ili jednak (internet). Na primjer, kada postoji donja granica, proizvodnja određenog proizvoda mora biti veća od predviđene potražnje.
4. Opća IZJAVA PROBLEMA linearnog programiranja započinje postavljanjem ograničenja.
5. Bilo koji izazov za internet mora imati jedno ili više ograničenja.
6. Pozitivnost varijabli odluke mora se uzeti u obzir unutar ograničenja.

Faze postavljanja problema

Opća IZJAVA PROBLEMA linearnog programiranja i njegova formulacija odnosi se na prijevod stvarnog problema na vrstu matematičkih jednadžbi koje se mogu riješiti.

Koraci za postavljanje problema cjelobrojnog linearnog programiranja:

1. Odrediti broj koji otkriva ponašanje ciljne funkcije za optimizaciju.
2. Pronađite skup ograničenja i izrazite ih u obliku linearnih jednadžbi ili nejednakosti. To će postaviti područje u prostoru optimiziranih funkcija u dimenziji.
3. Potrebno je nametnuti uvjet nenegativnosti varijablama problema, odnosno sve moraju biti pozitivne.
4. Izrazite funkciju u obliku linearne jednadžbe.
5. Optimizirajte funkciju grafički ili matematički kada se izvodi matematička IZJAVA PROBLEMA linearnog programiranja.

Grafički način

Grafička metoda koristi se za izvršavanje zadataka u dvije varijable. Ova se metoda ne primjenjuje za rješavanje problema, koji imaju tri ili više varijabilnih odluka.

Standardni problem maksimiziranja nepoznatih problema, u kojem se funkcija povećava, podložna ograničenjima oblika:

AIP 0, AIP 0, AIP 0 i daljnja ograničenja oblika:

Ax + By + C z +. , ≤ N,

gdje su A, B, C i oceani nenegativni brojevi.

Nejednakost bi trebala biti "internet", a ne " = "ili"internet".

Grafička metoda s dvije nepoznanice je kako slijedi:

1. Postavite moguća područja grafikona.
2. Izračunajte kutne koordinate točaka.
3. Zamijenite ih kako biste vidjeli optimalnu vrijednost. Ova točka daje rješenje problema s oceanom.
4. Minimiziraju funkciju i ako su njezini koeficijenti nenegativni, rješenje postoji.

Definiranje postojećih rješenja:

1. Ograničiti područje dodavanjem okomite crte desno od krajnje desne kutne točke i vodoravne crte iznad najviše kutne točke.
2. Izračunajte koordinate novih kutnih točaka.
3. Pronađite kutnu točku s optimalnom vrijednošću.
4. Ako se to dogodi na ishodištu neograničenog područja, tada problem s oceanom ima rješenje u određenoj točki. Ako ne, tada nema optimalno rješenje.

Skiciranje skupa rješenja

Odaberite referentnu točku i označite blokirano područje.

Nacrtajte područje predstavljeno nejednakošću dviju varijabli u formulaciji problema linearnog programiranja. Ukratko za primjer:

1. Nacrtajte liniju dobivenu zamjenom nejednakosti jednakošću.
2. Odaberite kontrolnu točku, (0,0). Dobar izbor ako linija prolazi kroz početak.
3. Ako kontrolna točka zadovoljava nejednakost, tada je skup rješenja cijelo područje na istoj strani crte kao i kontrolna točka. Inače je s druge strane crte.
4. Izvediva domena definirana je skupom linearnih nejednakosti i skup je točaka koje zadovoljavaju sve nejednakosti.
5. Da biste je nacrtali, definiranu skupom linearnih nejednakosti s dvije varijable, izvedite područja predstavljena svakom nejednakošću na jednom grafikonu, ne zaboravljajući zasjeniti dijelove ravnine koji nisu potrebni.

Jednostavna metoda za maksimiziranje

IZJAVA PROBLEMA linearnog programiranja s matematičkim modelom za maksimiziranje može se izvesti primjenom simpleks metode:

1. Pretvaraju podatke u sustav jednadžbi uvođenjem slabih varijabli kako bi ograničenja pretvorili u jednadžbe i prepisali funkciju u standardni oblik.
2. Napišite izvornu tablicu.
3. Odaberite stupac za širenje, negativni broj s najvećom vrijednošću u donjem redu, isključujući krajnji desni unos. Njegov stupac je sažetak. Ako postoji dva kandidata, odaberite jednog. Ako su svi brojevi u donjem redu nula ili pozitivni, isključujući krajnji desni unos, tada ste gotovi i osnovno rješenje maksimizira ciljnu funkciju.
4. Odaberite šipku u stupcu. Os uvijek mora biti pozitivan broj. Za svaki pozitivni unos "IPA" u stupcu sažetih podataka izračunava se omjer "IPA / IPA", gdje "a" je odgovor u ovom retku. Iz testnih koeficijenata odabire se minimalni, tada će odgovarajući broj "internet" biti OS.
5. Koristite štap za čišćenje stupca na uobičajeni način, pazeći da točno slijedite upute za formuliranje operacija redaka opisanih u priručniku za Gauss-Jordanovoj metodi, a zatim zamijenite stupac s oznakom iz stupca.
6. Varijabla koja izvorno označava redak sažetka je izlazna, a varijabla koja označava stupac je ulazna.

Da biste dobili osnovno rješenje koje odgovara bilo kojoj tablici u jednostavnoj metodi, postavite na nulu sve varijable koje se ne prikazuju kao oznake redaka. Vrijednost prikazane oznake retka (aktivna varijabla) - broj u krajnjem desnom stupcu u retku podijeljen s brojem u tom retku u stupcu označenom istom varijablom.

Nestandardna ograničenja

Da biste riješili problem s ograničenjem vrste (asa + asa +. , .(Umjesto dodavanja slabe varijable). Osnovno rješenje koje odgovara izvornoj tablici neće biti izvedivo jer će neke aktivne varijable biti negativne. Stoga se pravila početnog skretanja razlikuju od gore navedenih.

Zatim označite sve retke koji daju negativnu vrijednost pridruženoj aktivnoj varijabli, osim ciljne. Ako postoje označeni redovi, morate započeti s pozornicom za prikaz.

I faza. U prvom retku pronađite najveći pozitivan broj. Koriste testne koeficijente kao u prethodnom odjeljku za pronalaženje sažetka u tom stupcu, a zatim proširuju taj zapis. Ponavljajte sve dok ne ostanu označeni redovi, a zatim prijeđite na fazu ACE.

Pozornica na pola puta koristi simpleks metodu za standardni problem maksimizacije. Ako postoje negativne vrijednosti u donjem lijevom redu nakon faze, koristite metodu standardnih problema maksimizacije.

Primjer igre koja se može riješiti jednostavnom metodom.

Internetski alat

Danas tehnološki alati olakšavaju mnoge vrste aktivnosti profesionalni život i metode rješavanja problema nisu iznimka. Njihova prednost je, što se može dobiti optimalno rješenje s bilo kojeg računala s pristupom internetu.

Iphine je izvr tan internet ki alat za rješavanje iphine izazova. Ova aplikacija može riješiti probleme bez ograničenja broja varijabli i ograničenja. Za probleme s dvije varijable Prikazuje grafičko rješenje i predstavlja cijeli postupak izračunavanja optimalnog rješenja na jednostavan i jasan način. Ima prijateljsko sučelje, blisko korisniku, jednostavno za korištenje i intuitivno, dostupno na više jezika.

Internet: aplikacije bez granica

Internet pruža 2 alata za rješavanje problema linearnog programiranja:

1. Grafikon linearnog programiranja (dvije varijable).
2. Jednostavna metoda.

Za razliku od drugih alata, gdje se postavljaju samo koeficijenti, ovdje su uključene sve funkcije s varijablama. To ne predstavlja veliku poteškoću za korisnici početnici, budući da stranica profila ima upute za uporabu. Osim toga, stranica ima funkciju "primjeri" koja automatski stvara zadatke kako bi korisnik mogao procijeniti njegov rad, na primjer, prilikom postavljanja transportnog problema linearnog programiranja.

Internet je još jedan alat na mreži. Omogućuje vam rješavanje problema s oceanom bez ograničavanja broja varijabli. Ima jednostavno upravljačko sučelje koje traži da navedete cilj i broj varijabli. Korisnik bilježi koeficijente ciljne funkcije, ograničenja i klikne na "riješi". Prikazat će se integracija, izračun optimalne opcije i rezultati svake varijable.

Kao što se može vidjeti, ovi su alati izuzetno korisni za lako učenje postupaka rješavanja linearnog programiranja.

Jednostavan primjer AUT-a

Tvrtka proizvodi prijenosne i kalkulatore za znanstveni rad. Dugoročne projekcije ukazuju na očekivanu dnevnu potrebu za 150 znanstvenih i 100 prijenosnih kalkulatora. Dnevno proizvodni kapacitet dnevno vam omogućuje proizvodnju najviše 250 znanstvenih i 200 prijenosnih kalkulatora.

Da biste ispunili ugovor o isporuci, morate izdati najmanje 250 kalkulatora. Provedba jednog dovodi do gubitka od 20 rubalja, ali svaki ručni kalkulator donosi dobit od 50 rubalja. Izračun se mora izvršiti kako bi se postigla maksimalna neto dobit.

Algoritam za izvođenje primjera postavljanja problema linearnog programiranja:

1. Varijable odluke. Budući da je postavljen optimalan broj kalkulatora, oni će biti varijable ja u ovom problemu: IPO-broj znanstvenih kalkulatora, IPO — broj prijenosnih računala.
2. Postavite ograničenja, budući da tvrtka ne može proizvesti negativan broj kalkulatora dnevno, prirodno ograničenje bilo bi: IPA 0, IPA 0.
3. Poanta: 150-ih, 100-ih.
4. Postavite gornju granicu za ove varijable zbog proizvodnih ograničenja tvrtke: acepa 250, acepa 200.
5. Zajedničko ograničenje vrijednosti ` i ` I ` I ` i ` zbog minimalne narudžbe za otpremu tereta: h + na i & i 250
6. Optimizirati funkciju neto dobiti: a-20 A-A + 50 a-a.
7. Rješenje zadatka: povećanje P = -20x + 50y pod uvjetom da je 150 ≤ x ≤ 250; 100 ≤ y ≤ 200; x + y ≥ 250.

Područja primjene

Među primjenama linearnog programiranja najčešće su:

1. Agregatno planiranje prodaje i poslovanja. Cilj je smanjiti troškove proizvodnje u kratkom roku, kao što su tri i šest mjeseci koji zadovoljavaju očekivanu potražnju.
2. Planiranje proizvoda: Pronađite optimalnu kombinaciju proizvoda s obzirom na to da zahtijevaju različite resurse i imaju različite troškove. Kao primjer možete pronaći optimalnu mješavinu kemijskih elemenata za benzin, boje, ljudsku prehranu i stočnu hranu.
3. Tijek proizvodnje: odrediti optimalni tok za proizvodnju proizvoda koji se mora odvijati uzastopno kroz više tijekova rada, pri čemu svaki ima svoje troškove i proizvodne karakteristike.
4. Izjava o transportnom problemu linearnog programiranja, raspored prijevoza. Metoda se koristi za programiranje više ruta određenog broja vozila za opsluživanje kupaca ili dobivanje materijala koji će se prevoziti između različitih lokacija. Svako vozilo može imati različitu nosivost i performanse.
5. Upravljanje zalihama: određivanje optimalne kombinacije proizvoda koji će biti na zalihama u prodajnoj mreži.
6. Programiranje osoblja: izrada hr plana koji može zadovoljiti očekivanu promjenjivu potražnju za stručnjacima s najmanjim mogućim brojem zaposlenika.
7. Kontrola otpada: pomoću linearnog programiranja moguće je izračunati kako smanjiti otpad na minimum.

Ovo su neki od najčešći primjene u kojima se koristi linearno programiranje. Općenito, svaki problem optimizacije koji zadovoljava gore navedene uvjete može se riješiti pomoću njega.